Ia-3d Oh10 m-3m Cubic info
No. 230 I41/a-32/d Patterson symmetry Im-3m

symmetry group diagram

Origin at centre (-3)

Asymmetric unit -1/8 ≤ x ≤ 1/8; -1/8 ≤ y ≤ 1/8; 0 ≤ z ≤ 1/4; max(x, -x, y, -y) ≤ z
Vertices
0, 0, 0  1/8, 1/8, 1/8  -1/8, 1/8, 1/8  -1/8, -1/8, 1/8  1/8, -1/8, 1/8  
1/8, 1/8, 1/4  -1/8, 1/8, 1/4  -1/8, -1/8, 1/4  1/8, -1/8, 1/4   

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/4, 0, z(3)  2(0, 1/2, 0)   0, y, 1/4(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x + 1/2, x, -x(7)  3+   x + 1/2, -x - 1/2, -x(8)  3+   -x, -x + 1/2, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, -x + 1/6, -x(11)  3-(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/3, -x + 1/6, x(12)  3-(1/3, -1/3, 1/3)   -x - 1/6, x + 1/3, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x - 1/4, 1/8(14)  2   x, -x + 3/4, 3/8(15)  4-(0, 0, 3/4)   1/4, 0, z(16)  4+(0, 0, 1/4)   -1/4, 1/2, z
(17)  4-(3/4, 0, 0)   x, 1/4, 0(18)  2(0, 1/2, 1/2)   1/8, y + 1/4, y(19)  2   3/8, y + 3/4, -y(20)  4+(1/4, 0, 0)   x, -1/4, 1/2
(21)  4+(0, 1/4, 0)   1/2, y, -1/4(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x - 1/4, 1/8, x(23)  4-(0, 3/4, 0)   0, y, 1/4(24)  2   -x + 3/4, 3/8, x
(25)  -1   0, 0, 0(26)  a   x, y, 1/4(27)  c   x, 1/4, z(28)  b   1/4, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(30)  -3+   -x - 1/2, x + 1, -x; 0, 1/2, 1/2(31)  -3+   x + 1/2, -x + 1/2, -x; 1/2, 1/2, 0(32)  -3+   -x + 1, -x + 1/2, x; 1/2, 0, 1/2
(33)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0(34)  -3-   x + 1/2, -x - 1/2, -x; 0, 0, 1/2(35)  -3-   -x, -x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(36)  -3-   -x + 1/2, x, -x; 1/2, 0, 0
(37)  d(-1/4, 1/4, 3/4)   x + 1/2, -x, z(38)  d(1/4, 1/4, 1/4)   x, x, z(39)  -4-   0, 3/4, z; 0, 3/4, 1/8(40)  -4+   1/2, -1/4, z; 1/2, -1/4, 3/8
(41)  -4-   x, 0, 3/4; 1/8, 0, 3/4(42)  d(3/4, -1/4, 1/4)   x, y + 1/2, -y(43)  d(1/4, 1/4, 1/4)   x, y, y(44)  -4+   x, 1/2, -1/4; 3/8, 1/2, -1/4
(45)  -4+   -1/4, y, 1/2; -1/4, 3/8, 1/2(46)  d(1/4, 3/4, -1/4)   -x + 1/2, y, x(47)  -4-   3/4, y, 0; 3/4, 1/8, 0(48)  d(1/4, 1/4, 1/4)   x, y, x

For (1/2, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 1/2)   (2)  2   0, 1/4, z(3)  2   1/4, y, 0(4)  2   x, 0, 1/4
(5)  3+(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, x(6)  3+(1/6, -1/6, 1/6)   -x - 1/6, x + 1/3, -x(7)  3+(-1/6, 1/6, 1/6)   x + 1/6, -x + 1/6, -x(8)  3+(1/6, 1/6, -1/6)   -x + 1/3, -x + 1/6, x
(9)  3-(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, x(10)  3-(1/6, -1/6, -1/6)   x + 1/6, -x + 1/6, -x(11)  3-(-1/6, -1/6, 1/6)   -x + 1/3, -x + 1/6, x(12)  3-(-1/6, 1/6, -1/6)   -x - 1/6, x + 1/3, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x + 1/4, 3/8(14)  2   x, -x + 1/4, 1/8(15)  4-(0, 0, 1/4)   3/4, 0, z(16)  4+(0, 0, 3/4)   1/4, 1/2, z
(17)  4-(1/4, 0, 0)   x, 3/4, 0(18)  2(0, 1/2, 1/2)   3/8, y - 1/4, y(19)  2   1/8, y + 1/4, -y(20)  4+(3/4, 0, 0)   x, 1/4, 1/2
(21)  4+(0, 3/4, 0)   1/2, y, 1/4(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x + 1/4, 3/8, x(23)  4-(0, 1/4, 0)   0, y, 3/4(24)  2   -x + 1/4, 1/8, x
(25)  -1   1/4, 1/4, 1/4(26)  b   x, y, 0(27)  a   x, 0, z(28)  c   0, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(30)  -3+   -x - 1/2, x, -x; -1/4, -1/4, 1/4(31)  -3+   x - 1/2, -x + 1/2, -x; -1/4, 1/4, -1/4(32)  -3+   -x, -x - 1/2, x; 1/4, -1/4, -1/4
(33)  -3-   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(34)  -3-   x + 1/2, -x - 1/2, -x; 1/4, -1/4, 1/4(35)  -3-   -x, -x + 1/2, x; -1/4, 1/4, 1/4(36)  -3-   -x + 1/2, x, -x; 1/4, 1/4, -1/4
(37)  d(1/4, -1/4, 1/4)   x + 1/2, -x, z(38)  d(3/4, 3/4, 3/4)   x, x, z(39)  -4-   0, 1/4, z; 0, 1/4, 3/8(40)  -4+   1/2, 1/4, z; 1/2, 1/4, 1/8
(41)  -4-   x, 0, 1/4; 3/8, 0, 1/4(42)  d(1/4, 1/4, -1/4)   x, y + 1/2, -y(43)  d(3/4, 3/4, 3/4)   x, y, y(44)  -4+   x, 1/2, 1/4; 1/8, 1/2, 1/4
(45)  -4+   1/4, y, 1/2; 1/4, 1/8, 1/2(46)  d(-1/4, 1/4, 1/4)   -x + 1/2, y, x(47)  -4-   1/4, y, 0; 1/4, 3/8, 0(48)  d(3/4, 3/4, 3/4)   x, y, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(1/2, 1/2, 1/2); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (1/2, 1/2, 1/2)+  h, k, l permutable
General:
96 h 1
(1) x, y, z(2) -x + 1/2, -y, z + 1/2(3) -x, y + 1/2, -z + 1/2(4) x + 1/2, -y + 1/2, -z
(5) z, x, y(6) z + 1/2, -x + 1/2, -y(7) -z + 1/2, -x, y + 1/2(8) -z, x + 1/2, -y + 1/2
(9) y, z, x(10) -y, z + 1/2, -x + 1/2(11) y + 1/2, -z + 1/2, -x(12) -y + 1/2, -z, x + 1/2
(13) y + 3/4, x + 1/4, -z + 1/4(14) -y + 3/4, -x + 3/4, -z + 3/4(15) y + 1/4, -x + 1/4, z + 3/4(16) -y + 1/4, x + 3/4, z + 1/4
(17) x + 3/4, z + 1/4, -y + 1/4(18) -x + 1/4, z + 3/4, y + 1/4(19) -x + 3/4, -z + 3/4, -y + 3/4(20) x + 1/4, -z + 1/4, y + 3/4
(21) z + 3/4, y + 1/4, -x + 1/4(22) z + 1/4, -y + 1/4, x + 3/4(23) -z + 1/4, y + 3/4, x + 1/4(24) -z + 3/4, -y + 3/4, -x + 3/4
(25) -x, -y, -z(26) x + 1/2, y, -z + 1/2(27) x, -y + 1/2, z + 1/2(28) -x + 1/2, y + 1/2, z
(29) -z, -x, -y(30) -z + 1/2, x + 1/2, y(31) z + 1/2, x, -y + 1/2(32) z, -x + 1/2, y + 1/2
(33) -y, -z, -x(34) y, -z + 1/2, x + 1/2(35) -y + 1/2, z + 1/2, x(36) y + 1/2, z, -x + 1/2
(37) -y + 1/4, -x + 3/4, z + 3/4(38) y + 1/4, x + 1/4, z + 1/4(39) -y + 3/4, x + 3/4, -z + 1/4(40) y + 3/4, -x + 1/4, -z + 3/4
(41) -x + 1/4, -z + 3/4, y + 3/4(42) x + 3/4, -z + 1/4, -y + 3/4(43) x + 1/4, z + 1/4, y + 1/4(44) -x + 3/4, z + 3/4, -y + 1/4
(45) -z + 1/4, -y + 3/4, x + 3/4(46) -z + 3/4, y + 3/4, -x + 1/4(47) z + 3/4, -y + 1/4, -x + 3/4(48) z + 1/4, y + 1/4, x + 1/4
hkl : h + k + l = 2n
0kl : k, l = 2n
hhl : 2h + l = 4n
h00 : h = 4n
    Special: as above, plus
48 g  . . 2 
1/8, y, -y + 1/4 3/8, -y, -y + 3/4 7/8, y + 1/2, y + 1/4 5/8, -y + 1/2, y + 3/4
-y + 1/4, 1/8, y -y + 3/4, 3/8, -yy + 1/4, 7/8, y + 1/2y + 3/4, 5/8, -y + 1/2
y, -y + 1/4, 1/8 -y, -y + 3/4, 3/8y + 1/2, y + 1/4, 7/8 -y + 1/2, y + 3/4, 5/8
7/8, -y, y + 3/4 5/8, y, y + 1/4 1/8, -y + 1/2, -y + 3/4 3/8, y + 1/2, -y + 1/4
y + 3/4, 7/8, -yy + 1/4, 5/8, y -y + 3/4, 1/8, -y + 1/2 -y + 1/4, 3/8, y + 1/2
-y, y + 3/4, 7/8y, y + 1/4, 5/8 -y + 1/2, -y + 3/4, 1/8y + 1/2, -y + 1/4, 3/8
hkl : h = 2n + 1
or h = 4n
48 f  2 . . 
x, 0, 1/4 -x + 1/2, 0, 3/4 1/4, x, 0 3/4, -x + 1/2, 0 0, 1/4, x 0, 3/4, -x + 1/2
3/4, x + 1/4, 0 3/4, -x + 3/4, 1/2x + 3/4, 1/2, 1/4 -x + 1/4, 0, 1/4 0, 1/4, -x + 1/4 1/2, 1/4, x + 3/4
-x, 0, 3/4x + 1/2, 0, 1/4 3/4, -x, 0 1/4, x + 1/2, 0 0, 3/4, -x 0, 1/4, x + 1/2
1/4, -x + 3/4, 0 1/4, x + 1/4, 1/2 -x + 1/4, 1/2, 3/4x + 3/4, 0, 3/4 0, 3/4, x + 3/4 1/2, 3/4, -x + 1/4
hkl : 2h + l = 4n
32 e  . 3 . 
x, x, x -x + 1/2, -x, x + 1/2 -x, x + 1/2, -x + 1/2x + 1/2, -x + 1/2, -x
x + 3/4, x + 1/4, -x + 1/4 -x + 3/4, -x + 3/4, -x + 3/4x + 1/4, -x + 1/4, x + 3/4 -x + 1/4, x + 3/4, x + 1/4
-x, -x, -xx + 1/2, x, -x + 1/2x, -x + 1/2, x + 1/2 -x + 1/2, x + 1/2, x
-x + 1/4, -x + 3/4, x + 3/4x + 1/4, x + 1/4, x + 1/4 -x + 3/4, x + 3/4, -x + 1/4x + 3/4, -x + 1/4, -x + 3/4
hkl : h = 2n + 1
or h + k + l = 4n
24 d  -4 . . 
3/8, 0, 1/4 1/8, 0, 3/4 1/4, 3/8, 0 3/4, 1/8, 0 0, 1/4, 3/8 0, 3/4, 1/8
3/4, 5/8, 0 3/4, 3/8, 1/2 1/8, 1/2, 1/4 7/8, 0, 1/4 0, 1/4, 7/8 1/2, 1/4, 1/8
hkl : h, k = 2n, h + k + l = 4n or h, k = 2n + 1, l = 4n + 2 or h = 8n, k = 8n + 4 and h + k + l = 4n + 2
24 c  2 . 2 2 
1/8, 0, 1/4 3/8, 0, 3/4 1/4, 1/8, 0 3/4, 3/8, 0 0, 1/4, 1/8 0, 3/4, 3/8
7/8, 0, 3/4 5/8, 0, 1/4 3/4, 7/8, 0 1/4, 5/8, 0 0, 3/4, 7/8 0, 1/4, 5/8
16 b  . 3 2 
1/8, 1/8, 1/8 3/8, 7/8, 5/8 7/8, 5/8, 3/8 5/8, 3/8, 7/8 7/8, 7/8, 7/8 5/8, 1/8, 3/8 1/8, 3/8, 5/8 3/8, 5/8, 1/8
hkl : h, k = 2n + 1, l = 4n + 2
or h, k, l = 4n
16 a  . -3 . 
0, 0, 0 1/2, 0, 1/2 0, 1/2, 1/2 1/2, 1/2, 0 3/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 3/4 1/4, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 1/4
hkl : h, k = 2n, h + k + l = 4n

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2 a   b' = 1/2b   
Origin at 1/4, 0, z		Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   c2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = 1/2c   
Origin at x, x + 1/4, 1/8

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] I-43d (220)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48)+
  [2] I4132 (214)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24)+
  [2] Ia-31 (Ia-3, 206)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36)+
 [brace][3] I41/a12/d (I41/acd, 142)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40)+
 [3] I41/a12/d (I41/acd, 142)(1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44)+
 [3] I41/a12/d (I41/acd, 142)(1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48)+
 [brace][4] I1-32/d (R-3c, 167)(1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48)+
 [4] I1-32/d (R-3c, 167)(1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48)+
 [4] I1-32/d (R-3c, 167)(1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46)+
 [4] I1-32/d (R-3c, 167)(1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46)+
IIa none
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Ia-3d (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (230)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
II[4] Pm-3n (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (223)








































to end of page
to top of page