R3c C3v6 3m Trigonal info
No. 161 R3c Patterson symmetry R-3m
HEXAGONAL AXES

symmetry group diagram

Origin on 3 c

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 2/3; 0 ≤ z ≤ 1/6; x ≤ (1 + y)/2; y ≤ min(1 - x, (1 + x)/2)
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  2/3, 1/3, 0  1/3, 2/3, 0  0, 1/2, 0  
0, 0, 1/6  1/2, 0, 1/6  2/3, 1/3, 1/6  1/3, 2/3, 1/6  0, 1/2, 1/6  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  3+   0, 0, z(3)  3-   0, 0, z
(4)  c   x, -x, z(5)  c   x, 2x, z(6)  c   2x, x, z

For (2/3, 1/3, 1/3)+ set

(1)  t(2/3, 1/3, 1/3)   (2)  3+(0, 0, 1/3)   1/3, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 1/3)   1/3, 0, z
(4)  g(1/6, -1/6, 5/6)   x + 1/2, -x, z(5)  g(1/6, 1/3, 5/6)   x + 1/4, 2x, z(6)  g(2/3, 1/3, 5/6)   2x, x, z

For (1/3, 2/3, 2/3)+ set

(1)  t(1/3, 2/3, 2/3)   (2)  3+(0, 0, 2/3)   0, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 2/3)   1/3, 1/3, z
(4)  g(-1/6, 1/6, 1/6)   x + 1/2, -x, z(5)  g(1/3, 2/3, 1/6)   x, 2x, z(6)  g(1/3, 1/6, 1/6)   2x - 1/2, x, z

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/3, 1/3, 1/3); (2); (4)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (2/3, 1/3, 1/3)+  (1/3, 2/3, 2/3)+  General:
18 b 1
(1) x, y, z(2) -y, x - y, z(3) -x + y, -x, z
(4) -y, -x, z + 1/2(5) -x + y, y, z + 1/2(6) x, x - y, z + 1/2
hkil :  -h + k + l = 3n
hki0 :  -h + k = 3n
hh(-2h)l : l = 3n
h-h0l : h + l = 3n,  l = 2n
000l : l = 6n
h-h00 : h = 3n
    Special: as above, plus
6 a  3 . 
0, 0, z 0, 0, z + 1/2
hkil : l = 2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p31m
a' = 1/3(2a + b)   b' = 1/3(-a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [100]   p1
a' = 1/6(2a + 4b + c)   b' = 1/6(-a - 2b + c)   
Origin at x, 0, 0		Along [210]   p1g1
a' = 1/2b   b' = 1/3c   
Origin at x, 1/2x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R31 (R3, 146)(1; 2; 3)+
 [brace][3] R1c (Cc, 9)(1; 4)+
 [3] R1c (Cc, 9)(1; 5)+
 [3] R1c (Cc, 9)(1; 6)+
IIa [3] P3c1 (158)1; 2; 3; 4; 5; 6
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[4] R3c (a' = -2a, b' = -2b) (161); [5] R3c (a' = -a, b' = -b, c' = 5c) (161)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] R-3c (167); [4] P-43n (218); [4] F-43c (219); [4] I-43d (220)
II[2] R3m (a' = -a, b' = -b, c' = 1/2c) (160); [3] P31c (a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c) (159)





R3c C3v6 3m Trigonal info
No. 161 R3c Patterson symmetry R-3m
RHOMBOHEDRAL AXES

symmetry group diagram

Origin on 3 c

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1; y ≤ x; z ≤ y
Vertices
0, 0, 0  1, 0, 0  1, 1, 0  1, 1, 1  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  3+   x, x, x(3)  3-   x, x, x
(4)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, x(5)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, z(6)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, y

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 General:
6 b 1
(1) x, y, z(2) z, x, y(3) y, z, x
(4) z + 1/2, y + 1/2, x + 1/2(5) y + 1/2, x + 1/2, z + 1/2(6) x + 1/2, z + 1/2, y + 1/2
hhl : l = 2n
hhh : h = 2n
    Special: as above, plus
2 a  3 . 
x, x, xx + 1/2, x + 1/2, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n

Symmetry of special projections

Along [111]   p31m
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [1-10]   p1
a' = 1/2(a + b - 2c)   b' = 1/2c   
Origin at x, -x, 0		Along [2-1-1]   p1g1
a' = 1/2(b - c)   b' = 1/3(a + b + c)   
Origin at 2x, -x, -x

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R31 (R3, 146)1; 2; 3
 [brace][3] R1c (Cc, 9)1; 4
 [3] R1c (Cc, 9)1; 5
 [3] R1c (Cc, 9)1; 6
IIa none
IIb[3] P3c1 (a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c) (158)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[4] R3c (a' = -a + b + c, b' = a - b + c, c' = a + b - c) (161); [5] R3c (a' = a + 2b + 2c, b' = 2a + b + 2c, c' = 2a + 2b + c) (161)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] R-3c (167); [4] P-43n (218); [4] F-43c (219); [4] I-43d (220)
II[2] R3m (a' = 1/2(-a + b + c), b' = 1/2(a - b + c), c' = 1/2(a + b - c)) (160); [3] P31c (a' = 1/3(2a - b - c), b' = 1/3(-a + 2b - c), c' = 1/3(a + b + c)) (159)








































to end of page
to top of page