Fm-3c Oh6 m-3m Cubic info
No. 226 F4/m-32/c Patterson symmetry Fm-3m

symmetry group diagram

Origin at centre (m -3)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/4; 0 ≤ z ≤ 1/4; y ≤ min(x, 1/2 - x); z ≤ y
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/4, 1/4, 0  1/4, 1/4, 1/4  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x, 1/4(14)  2   x, -x + 1/2, 1/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   1/2, 0, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   0, 1/2, z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x, 1/2, 0(18)  2(0, 1/2, 1/2)   1/4, y, y(19)  2   1/4, y + 1/2, -y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/2
(21)  4+(0, 1/2, 0)   1/2, y, 0(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x, 1/4, x(23)  4-(0, 1/2, 0)   0, y, 1/2(24)  2   -x + 1/2, 1/4, x
(25)  -1   0, 0, 0(26)  m   x, y, 0(27)  m   x, 0, z(28)  m   0, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(30)  -3+   -x, x, -x; 0, 0, 0(31)  -3+   x, -x, -x; 0, 0, 0(32)  -3+   -x, -x, x; 0, 0, 0
(33)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0(34)  -3-   x, -x, -x; 0, 0, 0(35)  -3-   -x, -x, x; 0, 0, 0(36)  -3-   -x, x, -x; 0, 0, 0
(37)  c   x + 1/2, -x, z(38)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, z(39)  -4-   0, 1/2, z; 0, 1/2, 1/4(40)  -4+   1/2, 0, z; 1/2, 0, 1/4
(41)  -4-   x, 0, 1/2; 1/4, 0, 1/2(42)  a   x, y + 1/2, -y(43)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, y(44)  -4+   x, 1/2, 0; 1/4, 1/2, 0
(45)  -4+   0, y, 1/2; 0, 1/4, 1/2(46)  b   -x + 1/2, y, x(47)  -4-   1/2, y, 0; 1/2, 1/4, 0(48)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, x

For (0, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(0, 1/2, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   0, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   0, y, 1/4(4)  2   x, 1/4, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/3, x - 1/6, x(6)  3+   -x, x + 1/2, -x(7)  3+(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, -x - 1/6, -x(8)  3+   -x, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x + 1/6, x(10)  3-(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, -x + 1/6, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x + 1/2, x(12)  3-   -x - 1/2, x + 1/2, -x
(13)  2(1/4, 1/4, 0)   x, x - 1/4, 0(14)  2(1/4, -1/4, 0)   x, -x + 1/4, 0(15)  4-   1/4, -1/4, z(16)  4+   1/4, 1/4, z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x, 0, 0(18)  2   1/4, y, y(19)  2   1/4, y, -y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, 0, 0
(21)  4+   1/4, y, -1/4(22)  2(1/4, 0, 1/4)   x + 1/4, 0, x(23)  4-   1/4, y, 1/4(24)  2(1/4, 0, -1/4)   -x + 1/4, 0, x
(25)  -1   0, 1/4, 1/4(26)  b   x, y, 1/4(27)  c   x, 1/4, z(28)  n(0, 1/2, 1/2)   0, y, z
(29)  -3+   x, x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(30)  -3+   -x - 1, x + 1/2, -x; -1/2, 0, 1/2(31)  -3+   x, -x + 1/2, -x; 0, 1/2, 0(32)  -3+   -x + 1, -x + 1/2, x; 1/2, 0, 1/2
(33)  -3-   x - 1/2, x - 1/2, x; 0, 0, 1/2(34)  -3-   x + 1/2, -x - 1/2, -x; 0, 0, 1/2(35)  -3-   -x - 1/2, -x + 1/2, x; -1/2, 1/2, 0(36)  -3-   -x + 1/2, x + 1/2, -x; 1/2, 1/2, 0
(37)  g(1/4, -1/4, 0)   x + 1/4, -x, z(38)  g(1/4, 1/4, 0)   x + 1/4, x, z(39)  -4-   1/4, 1/4, z; 1/4, 1/4, 0(40)  -4+   1/4, -1/4, z; 1/4, -1/4, 0
(41)  -4-   x, 0, 0; 1/4, 0, 0(42)  a   x, y, -y(43)  a   x, y, y(44)  -4+   x, 0, 0; 1/4, 0, 0
(45)  -4+   1/4, y, 1/4; 1/4, 0, 1/4(46)  g(1/4, 0, -1/4)   -x + 1/4, y, x(47)  -4-   1/4, y, -1/4; 1/4, 0, -1/4(48)  g(1/4, 0, 1/4)   x + 1/4, y, x

For (1/2, 0, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 0, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/4, 0, z(3)  2   1/4, y, 1/4(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x - 1/6, x(6)  3+(1/3, -1/3, 1/3)   -x + 1/6, x + 1/6, -x(7)  3+   x + 1/2, -x - 1/2, -x(8)  3+   -x + 1/2, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x - 1/3, x(10)  3-   x + 1/2, -x, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x, x(12)  3-(1/3, -1/3, 1/3)   -x - 1/6, x + 1/3, -x
(13)  2(1/4, 1/4, 0)   x, x + 1/4, 0(14)  2(-1/4, 1/4, 0)   x, -x + 1/4, 0(15)  4-   1/4, 1/4, z(16)  4+   -1/4, 1/4, z
(17)  4-   x, 1/4, -1/4(18)  2(0, 1/4, 1/4)   0, y + 1/4, y(19)  2(0, 1/4, -1/4)   0, y + 1/4, -y(20)  4+   x, 1/4, 1/4
(21)  4+(0, 1/2, 0)   0, y, 0(22)  2   x, 1/4, x(23)  4-(0, 1/2, 0)   0, y, 0(24)  2   -x, 1/4, x
(25)  -1   1/4, 0, 1/4(26)  a   x, y, 1/4(27)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 0, z(28)  c   1/4, y, z
(29)  -3+   x - 1/2, x - 1/2, x; 0, 0, 1/2(30)  -3+   -x - 1/2, x + 1/2, -x; 0, 0, 1/2(31)  -3+   x + 1/2, -x + 1/2, -x; 1/2, 1/2, 0(32)  -3+   -x + 1/2, -x - 1/2, x; 1/2, -1/2, 0
(33)  -3-   x + 1/2, x, x; 1/2, 0, 0(34)  -3-   x + 1/2, -x - 1, -x; 0, -1/2, 1/2(35)  -3-   -x + 1/2, -x + 1, x; 0, 1/2, 1/2(36)  -3-   -x + 1/2, x, -x; 1/2, 0, 0
(37)  g(-1/4, 1/4, 0)   x + 1/4, -x, z(38)  g(1/4, 1/4, 0)   x - 1/4, x, z(39)  -4-   -1/4, 1/4, z; -1/4, 1/4, 0(40)  -4+   1/4, 1/4, z; 1/4, 1/4, 0
(41)  -4-   x, 1/4, 1/4; 0, 1/4, 1/4(42)  g(0, 1/4, -1/4)   x, y + 1/4, -y(43)  g(0, 1/4, 1/4)   x, y + 1/4, y(44)  -4+   x, 1/4, -1/4; 0, 1/4, -1/4
(45)  -4+   0, y, 0; 0, 1/4, 0(46)  b   -x, y, x(47)  -4-   0, y, 0; 0, 1/4, 0(48)  b   x, y, x

For (1/2, 1/2, 0)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 0)   (2)  2   1/4, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/4, y, 0(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 0
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x + 1/3, x(6)  3+   -x + 1/2, x, -x(7)  3+   x + 1/2, -x, -x(8)  3+(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/6, -x + 1/3, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, x + 1/6, x(10)  3-   x, -x + 1/2, -x(11)  3-(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/3, -x + 1/6, x(12)  3-   -x, x + 1/2, -x
(13)  2   x, x, 1/4(14)  2   x, -x, 1/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   0, 0, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   0, 0, z
(17)  4-   x, 1/4, 1/4(18)  2(0, 1/4, 1/4)   0, y - 1/4, y(19)  2(0, -1/4, 1/4)   0, y + 1/4, -y(20)  4+   x, -1/4, 1/4
(21)  4+   1/4, y, 1/4(22)  2(1/4, 0, 1/4)   x - 1/4, 0, x(23)  4-   -1/4, y, 1/4(24)  2(-1/4, 0, 1/4)   -x + 1/4, 0, x
(25)  -1   1/4, 1/4, 0(26)  n(1/2, 1/2, 0)   x, y, 0(27)  a   x, 1/4, z(28)  b   1/4, y, z
(29)  -3+   x + 1/2, x, x; 1/2, 0, 0(30)  -3+   -x - 1/2, x + 1, -x; 0, 1/2, 1/2(31)  -3+   x - 1/2, -x + 1, -x; 0, 1/2, -1/2(32)  -3+   -x + 1/2, -x, x; 1/2, 0, 0
(33)  -3-   x, x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(34)  -3-   x + 1, -x - 1/2, -x; 1/2, 0, 1/2(35)  -3-   -x, -x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(36)  -3-   -x + 1, x - 1/2, -x; 1/2, 0, -1/2
(37)  c   x, -x, z(38)  c   x, x, z(39)  -4-   0, 0, z; 0, 0, 1/4(40)  -4+   0, 0, z; 0, 0, 1/4
(41)  -4-   x, -1/4, 1/4; 0, -1/4, 1/4(42)  g(0, -1/4, 1/4)   x, y + 1/4, -y(43)  g(0, 1/4, 1/4)   x, y - 1/4, y(44)  -4+   x, 1/4, 1/4; 0, 1/4, 1/4
(45)  -4+   -1/4, y, 1/4; -1/4, 0, 1/4(46)  g(-1/4, 0, 1/4)   -x + 1/4, y, x(47)  -4-   1/4, y, 1/4; 1/4, 0, 1/4(48)  g(1/4, 0, 1/4)   x - 1/4, y, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(0, 1/2, 1/2); t(1/2, 0, 1/2); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (0, 1/2, 1/2)+  (1/2, 0, 1/2)+  (1/2, 1/2, 0)+  h, k, l permutable
General:
192 j 1
(1) x, y, z(2) -x, -y, z(3) -x, y, -z(4) x, -y, -z
(5) z, x, y(6) z, -x, -y(7) -z, -x, y(8) -z, x, -y
(9) y, z, x(10) -y, z, -x(11) y, -z, -x(12) -y, -z, x
(13) y + 1/2, x + 1/2, -z + 1/2(14) -y + 1/2, -x + 1/2, -z + 1/2(15) y + 1/2, -x + 1/2, z + 1/2(16) -y + 1/2, x + 1/2, z + 1/2
(17) x + 1/2, z + 1/2, -y + 1/2(18) -x + 1/2, z + 1/2, y + 1/2(19) -x + 1/2, -z + 1/2, -y + 1/2(20) x + 1/2, -z + 1/2, y + 1/2
(21) z + 1/2, y + 1/2, -x + 1/2(22) z + 1/2, -y + 1/2, x + 1/2(23) -z + 1/2, y + 1/2, x + 1/2(24) -z + 1/2, -y + 1/2, -x + 1/2
(25) -x, -y, -z(26) x, y, -z(27) x, -y, z(28) -x, y, z
(29) -z, -x, -y(30) -z, x, y(31) z, x, -y(32) z, -x, y
(33) -y, -z, -x(34) y, -z, x(35) -y, z, x(36) y, z, -x
(37) -y + 1/2, -x + 1/2, z + 1/2(38) y + 1/2, x + 1/2, z + 1/2(39) -y + 1/2, x + 1/2, -z + 1/2(40) y + 1/2, -x + 1/2, -z + 1/2
(41) -x + 1/2, -z + 1/2, y + 1/2(42) x + 1/2, -z + 1/2, -y + 1/2(43) x + 1/2, z + 1/2, y + 1/2(44) -x + 1/2, z + 1/2, -y + 1/2
(45) -z + 1/2, -y + 1/2, x + 1/2(46) -z + 1/2, y + 1/2, -x + 1/2(47) z + 1/2, -y + 1/2, -x + 1/2(48) z + 1/2, y + 1/2, x + 1/2
hkl : h + k = 2n
and h + l, k + l = 2n
0kl : k, l = 2n
hhl : h, l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
96 i  m . . 
0, y, z 0, -y, z 0, y, -z 0, -y, -z
z, 0, yz, 0, -y -z, 0, y -z, 0, -y
y, z, 0 -y, z, 0y, -z, 0 -y, -z, 0
y + 1/2, 1/2, -z + 1/2 -y + 1/2, 1/2, -z + 1/2y + 1/2, 1/2, z + 1/2 -y + 1/2, 1/2, z + 1/2
1/2, z + 1/2, -y + 1/2 1/2, z + 1/2, y + 1/2 1/2, -z + 1/2, -y + 1/2 1/2, -z + 1/2, y + 1/2
z + 1/2, y + 1/2, 1/2z + 1/2, -y + 1/2, 1/2 -z + 1/2, y + 1/2, 1/2 -z + 1/2, -y + 1/2, 1/2
no extra conditions
96 h  . . 2 
1/4, y, y 3/4, -y, y 3/4, y, -y 1/4, -y, -yy, 1/4, yy, 3/4, -y
-y, 3/4, y -y, 1/4, -yy, y, 1/4 -y, y, 3/4y, -y, 3/4 -y, -y, 1/4
3/4, -y, -y 1/4, y, -y 1/4, -y, y 3/4, y, y -y, 3/4, -y -y, 1/4, y
y, 1/4, -yy, 3/4, y -y, -y, 3/4y, -y, 1/4 -y, y, 1/4y, y, 3/4
hkl : h = 2n
64 g  . 3 . 
x, x, x -x, -x, x
-x, x, -xx, -x, -x
x + 1/2, x + 1/2, -x + 1/2 -x + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2
x + 1/2, -x + 1/2, x + 1/2 -x + 1/2, x + 1/2, x + 1/2
-x, -x, -xx, x, -x
x, -x, x -x, x, x
-x + 1/2, -x + 1/2, x + 1/2x + 1/2, x + 1/2, x + 1/2
-x + 1/2, x + 1/2, -x + 1/2x + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2
hkl : h = 2n
48 f  4 . . 
x, 1/4, 1/4 -x, 3/4, 1/4 1/4, x, 1/4 1/4, -x, 3/4 1/4, 1/4, x 3/4, 1/4, -x
-x, 3/4, 3/4x, 1/4, 3/4 3/4, -x, 3/4 3/4, x, 1/4 3/4, 3/4, -x 1/4, 3/4, x
hkl : h = 2n
48 e  m m 2 . . 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0
0, 0, x 0, 0, -x 1/2, x + 1/2, 1/2 1/2, -x + 1/2, 1/2
x + 1/2, 1/2, 1/2 -x + 1/2, 1/2, 1/2 1/2, 1/2, -x + 1/2 1/2, 1/2, x + 1/2
hkl : h = 2n
24 d  4/m . . 
0, 1/4, 1/4 0, 3/4, 1/4 1/4, 0, 1/4 1/4, 0, 3/4 1/4, 1/4, 0 3/4, 1/4, 0
hkl : h = 2n
24 c  -4 m . 2 
1/4, 0, 0 3/4, 0, 0 0, 1/4, 0 0, 3/4, 0 0, 0, 1/4 0, 0, 3/4
hkl : h = 2n
8 b  m -3 . 
0, 0, 0 1/2, 1/2, 1/2
hkl : h = 2n
8 a  4 3 2 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 3/4
hkl : h = 2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2a   b' = 1/2b   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p6mm
a' = 1/6(2a - b - c)   b' = 1/6(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   p2mm
a' = 1/4(-a + b)   b' = 1/2c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] F-43c (219)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48)+
  [2] F432 (209)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24)+
  [2] Fm-31 (Fm-3, 202)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36)+
 [brace][3] F42/m12/n (I4/mcm, 140)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40)+
 [3] F42/m12/n (I4/mcm, 140)(1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44)+
 [3] F42/m12/n (I4/mcm, 140)(1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48)+
 [brace][4] F1-32/n (R-3c, 167)(1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48)+
 [4] F1-32/n (R-3c, 167)(1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48)+
 [4] F1-32/n (R-3c, 167)(1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46)+
 [4] F1-32/n (R-3c, 167)(1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46)+
IIabrace[4] Pm-3n (223)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48
 [4] Pm-3n (223)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40; (9; 10; 11; 12; 17; 18; 19; 20; 33; 34; 35; 36; 41; 42; 43; 44) + (0, 1/2, 1/2); (5; 6; 7; 8; 21; 22; 23; 24; 29; 30; 31; 32; 45; 46; 47; 48) + (1/2, 0, 1/2)
 [4] Pm-3n (223)1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44; (9; 10; 11; 12; 21; 22; 23; 24; 33; 34; 35; 36; 45; 46; 47; 48) + (1/2, 0, 1/2); (5; 6; 7; 8; 13; 14; 15; 16; 29; 30; 31; 32; 37; 38; 39; 40) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pm-3n (223)1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48; (5; 6; 7; 8; 17; 18; 19; 20; 29; 30; 31; 32; 41; 42; 43; 44) + (0, 1/2, 1/2); (9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40) + (1/2, 1/2, 0)
 brace[4] Pn-3n (222)1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48; (4; 6; 11; 16; 18; 23; 28; 30; 35; 40; 42; 47) + (0, 1/2, 1/2); (3; 8; 10; 15; 20; 22; 27; 32; 34; 39; 44; 46) + (1/2, 0, 1/2); (2; 7; 12; 13; 17; 21; 26; 31; 36; 37; 41; 45) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pn-3n (222)1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48; (4; 5; 10; 15; 19; 23; 28; 29; 34; 39; 43; 47) + (0, 1/2, 1/2); (3; 7; 11; 16; 17; 22; 27; 31; 35; 40; 41; 46) + (1/2, 0, 1/2); (2; 8; 9; 14; 20; 21; 26; 32; 33; 38; 44; 45) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pn-3n (222)1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46; (4; 8; 12; 15; 18; 21; 28; 32; 36; 39; 42; 45) + (0, 1/2, 1/2); (3; 6; 9; 16; 20; 24; 27; 30; 33; 40; 44; 48) + (1/2, 0, 1/2); (2; 5; 11; 14; 17; 23; 26; 29; 35; 38; 41; 47) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pn-3n (222)1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46; (4; 7; 9; 16; 19; 21; 28; 31; 33; 40; 43; 45) + (0, 1/2, 1/2); (3; 5; 12; 15; 17; 24; 27; 29; 36; 39; 41; 48) + (1/2, 0, 1/2); (2; 6; 10; 13; 20; 23; 26; 30; 34; 37; 44; 47) + (1/2, 1/2, 0)
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Fm-3c (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (226)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
II[2] Pm-3m (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (221)








































to end of page
to top of page