Im-3m Oh9 m-3m Cubic info
No. 229 I4/m-32/m Patterson symmetry Im-3m

symmetry group diagram

Origin at centre (m -3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/2; 0 ≤ z ≤ 1/4; y ≤ x; z ≤ min(1/2 - x, y)
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/2, 1/2, 0  1/4, 1/4, 1/4  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  2   x, x, 0(14)  2   x, -x, 0(15)  4-   0, 0, z(16)  4+   0, 0, z
(17)  4-   x, 0, 0(18)  2   0, y, y(19)  2   0, y, -y(20)  4+   x, 0, 0
(21)  4+   0, y, 0(22)  2   x, 0, x(23)  4-   0, y, 0(24)  2   -x, 0, x
(25)  -1   0, 0, 0(26)  m   x, y, 0(27)  m   x, 0, z(28)  m   0, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(30)  -3+   -x, x, -x; 0, 0, 0(31)  -3+   x, -x, -x; 0, 0, 0(32)  -3+   -x, -x, x; 0, 0, 0
(33)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0(34)  -3-   x, -x, -x; 0, 0, 0(35)  -3-   -x, -x, x; 0, 0, 0(36)  -3-   -x, x, -x; 0, 0, 0
(37)  m   x, -x, z(38)  m   x, x, z(39)  -4-   0, 0, z; 0, 0, 0(40)  -4+   0, 0, z; 0, 0, 0
(41)  -4-   x, 0, 0; 0, 0, 0(42)  m   x, y, -y(43)  m   x, y, y(44)  -4+   x, 0, 0; 0, 0, 0
(45)  -4+   0, y, 0; 0, 0, 0(46)  m   -x, y, x(47)  -4-   0, y, 0; 0, 0, 0(48)  m   x, y, x

For (1/2, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/4, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/4, y, 1/4(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 1/4
(5)  3+(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, x(6)  3+(1/6, -1/6, 1/6)   -x + 1/3, x + 1/3, -x(7)  3+(-1/6, 1/6, 1/6)   x + 2/3, -x - 1/3, -x(8)  3+(1/6, 1/6, -1/6)   -x + 1/3, -x + 2/3, x
(9)  3-(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, x(10)  3-(-1/6, 1/6, 1/6)   x + 1/3, -x + 1/3, -x(11)  3-(1/6, 1/6, -1/6)   -x + 2/3, -x + 1/3, x(12)  3-(1/6, -1/6, 1/6)   -x - 1/3, x + 2/3, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x, 1/4(14)  2   x, -x + 1/2, 1/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   1/2, 0, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   0, 1/2, z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x, 1/2, 0(18)  2(0, 1/2, 1/2)   1/4, y, y(19)  2   1/4, y + 1/2, -y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/2
(21)  4+(0, 1/2, 0)   1/2, y, 0(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x, 1/4, x(23)  4-(0, 1/2, 0)   0, y, 1/2(24)  2   -x + 1/2, 1/4, x
(25)  -1   1/4, 1/4, 1/4(26)  n(1/2, 1/2, 0)   x, y, 1/4(27)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 1/4, z(28)  n(0, 1/2, 1/2)   1/4, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(30)  -3+   -x - 1, x + 1, -x; -1/4, 1/4, 3/4(31)  -3+   x, -x + 1, -x; 1/4, 3/4, -1/4(32)  -3+   -x + 1, -x, x; 3/4, -1/4, 1/4
(33)  -3-   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(34)  -3-   x + 1, -x - 1, -x; 1/4, -1/4, 3/4(35)  -3-   -x, -x + 1, x; -1/4, 3/4, 1/4(36)  -3-   -x + 1, x, -x; 3/4, 1/4, -1/4
(37)  c   x + 1/2, -x, z(38)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, z(39)  -4-   0, 1/2, z; 0, 1/2, 1/4(40)  -4+   1/2, 0, z; 1/2, 0, 1/4
(41)  -4-   x, 0, 1/2; 1/4, 0, 1/2(42)  a   x, y + 1/2, -y(43)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, y(44)  -4+   x, 1/2, 0; 1/4, 1/2, 0
(45)  -4+   0, y, 1/2; 0, 1/4, 1/2(46)  b   -x + 1/2, y, x(47)  -4-   1/2, y, 0; 1/2, 1/4, 0(48)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(1/2, 1/2, 1/2); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (1/2, 1/2, 1/2)+  h, k, l permutable
General:
96 l 1
(1) x, y, z(2) -x, -y, z(3) -x, y, -z(4) x, -y, -z
(5) z, x, y(6) z, -x, -y(7) -z, -x, y(8) -z, x, -y
(9) y, z, x(10) -y, z, -x(11) y, -z, -x(12) -y, -z, x
(13) y, x, -z(14) -y, -x, -z(15) y, -x, z(16) -y, x, z
(17) x, z, -y(18) -x, z, y(19) -x, -z, -y(20) x, -z, y
(21) z, y, -x(22) z, -y, x(23) -z, y, x(24) -z, -y, -x
(25) -x, -y, -z(26) x, y, -z(27) x, -y, z(28) -x, y, z
(29) -z, -x, -y(30) -z, x, y(31) z, x, -y(32) z, -x, y
(33) -y, -z, -x(34) y, -z, x(35) -y, z, x(36) y, z, -x
(37) -y, -x, z(38) y, x, z(39) -y, x, -z(40) y, -x, -z
(41) -x, -z, y(42) x, -z, -y(43) x, z, y(44) -x, z, -y
(45) -z, -y, x(46) -z, y, -x(47) z, -y, -x(48) z, y, x
hkl : h + k + l = 2n
0kl : k + l = 2n
hhl : l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
48 k  . . m 
x, x, z -x, -x, z -x, x, -zx, -x, -zz, x, xz, -x, -x
-z, -x, x -z, x, -xx, z, x -x, z, -xx, -z, -x -x, -z, x
x, x, -z -x, -x, -zx, -x, z -x, x, zx, z, -x -x, z, x
-x, -z, -xx, -z, xz, x, -xz, -x, x -z, x, x -z, -x, -x
no extra conditions
48 j  m . . 
0, y, z 0, -y, z 0, y, -z 0, -y, -zz, 0, yz, 0, -y
-z, 0, y -z, 0, -yy, z, 0 -y, z, 0y, -z, 0 -y, -z, 0
y, 0, -z -y, 0, -zy, 0, z -y, 0, z 0, z, -y 0, z, y
0, -z, -y 0, -z, yz, y, 0z, -y, 0 -z, y, 0 -z, -y, 0
no extra conditions
48 i  . . 2 
1/4, y, -y + 1/2 3/4, -y, -y + 1/2 3/4, y, y + 1/2 1/4, -y, y + 1/2
-y + 1/2, 1/4, y -y + 1/2, 3/4, -yy + 1/2, 3/4, yy + 1/2, 1/4, -y
y, -y + 1/2, 1/4 -y, -y + 1/2, 3/4y, y + 1/2, 3/4 -y, y + 1/2, 1/4
3/4, -y, y + 1/2 1/4, y, y + 1/2 1/4, -y, -y + 1/2 3/4, y, -y + 1/2
y + 1/2, 3/4, -yy + 1/2, 1/4, y -y + 1/2, 1/4, -y -y + 1/2, 3/4, y
-y, y + 1/2, 3/4y, y + 1/2, 1/4 -y, -y + 1/2, 1/4y, -y + 1/2, 3/4
no extra conditions
24 h  m . m 2 
0, y, y 0, -y, y 0, y, -y 0, -y, -yy, 0, yy, 0, -y
-y, 0, y -y, 0, -yy, y, 0 -y, y, 0y, -y, 0 -y, -y, 0
no extra conditions
24 g  m m 2 . . 
x, 0, 1/2 -x, 0, 1/2 1/2, x, 0 1/2, -x, 0 0, 1/2, x 0, 1/2, -x
0, x, 1/2 0, -x, 1/2x, 1/2, 0 -x, 1/2, 0 1/2, 0, -x 1/2, 0, x
no extra conditions
16 f  . 3 m 
x, x, x -x, -x, x -x, x, -xx, -x, -x
x, x, -x -x, -x, -xx, -x, x -x, x, x
no extra conditions
12 e  4 m . m 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0 0, 0, x 0, 0, -x
no extra conditions
12 d  -4 m . 2 
1/4, 0, 1/2 3/4, 0, 1/2 1/2, 1/4, 0 1/2, 3/4, 0 0, 1/2, 1/4 0, 1/2, 3/4
no extra conditions
8 c  . -3 m 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 3/4
hkl : k, l = 2n
6 b  4/m m . m 
0, 1/2, 1/2 1/2, 0, 1/2 1/2, 1/2, 0
no extra conditions
2 a  m -3 m 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2(a - b)   b' = 1/2(a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   p2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = 1/2c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] I-43m (217)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48)+
  [2] I432 (211)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24)+
  [2] Im-31 (Im-3, 204)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36)+
 [brace][3] I4/m12/m (I4/mmm, 139)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40)+
 [3] I4/m12/m (I4/mmm, 139)(1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44)+
 [3] I4/m12/m (I4/mmm, 139)(1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48)+
 [brace][4] I1-32/m (R-3m, 166)(1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48)+
 [4] I1-32/m (R-3m, 166)(1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48)+
 [4] I1-32/m (R-3m, 166)(1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46)+
 [4] I1-32/m (R-3m, 166)(1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46)+
IIa [2] Pn-3m (224)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; (13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36) + (1/2, 1/2, 1/2)
  [2] Pm-3n (223)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; (13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48) + (1/2, 1/2, 1/2)
  [2] Pn-3n (222)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; (25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48) + (1/2, 1/2, 1/2)
  [2] Pm-3m (221)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Im-3m (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (229)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
II[4] Pm-3m (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (221)








































to end of page
to top of page