Table 2.3.3.1

Gregora, I.

doi:10.1107/97809553602060000640

International
Tables for
Crystallography
Volume D
Physical properties of crystals
Edited by A. Authier

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International Tables for Crystallography (2006). Vol. D. ch. 2.3, pp. 318-320

Table 2.3.3.1

I. Gregora^a ^*

^a Institute of Physics, Academy of Sciences of the Czech Republic, Na Slovance 2, CZ-18221 Prague 8, Czech Republic
Correspondence e-mail: gregora@fzu.cz

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Symmetry of Raman tensors in the 32 crystal classes

The symbols a, b, c, d, e, f, g, h and i in the matrices stand for arbitrary parameters denoting possible independent nonzero components (in general complex) of the Raman tensors. Upper row: conventional symmetric Raman tensors; lower row: antisymmetric part. Alternative orientations of the point group are distinguished by subscripts at 2 or m in the class symbol indicating the direction of the twofold axis or of the normal to the mirror plane.

Triclinic

	$[\pmatrix{ a & d & f \cr d & b & h \cr f & h & c \cr }]$
1	$[{\rm A}(x,y,z)]$
$[\bar 1]$	$[{\rm A}{_g}]$
	$[\pmatrix{. & e & g \cr {- e}&. & i \cr {- g}& {- i}&. \cr }]$

Monoclinic, unique axis z

	$[{\pmatrix{ a & d &. \cr d & b &. \cr. &. & c \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & f \cr. &. & h \cr f & h &. \cr }}]$
	$[{\rm A}(z)]$	$[{\rm B}(x,y)]$
	$[{\rm A'}(x,y)]$	$[{\rm A}''(z)]$
	$[{\rm A}{_g}]$	$[{\rm B}{_g}]$
	$[{\pmatrix{. & e &. \cr {- e}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & g \cr. &. & i \cr {- g}& {- i}&. \cr }}]$

Monoclinic, unique axis y

	$[{\pmatrix{ a & . &d \cr . & b &. \cr d&. & c \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &f & . \cr f &. & h \cr . & h &. \cr }}]$
	$[{\rm A}(y)]$	$[{\rm B}(x,z)]$
	$[{\rm A'}(x,z)]$	$[{\rm A}''(y)]$
	$[{\rm A}{_g}]$	$[{\rm B}{_g}]$
	$[{\pmatrix{. & . &e \cr .&. &. \cr{-e} &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &g & . \cr-g &. & i \cr .& {- i}&. \cr }}]$

Orthorhombic

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & b &. \cr. &. & c \cr }}]$	$[{\pmatrix{. & d &. \cr d &. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & f \cr. &. &. \cr f &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & h \cr. & h &. \cr }}]$
222	$[{\rm A}]$	$[{\rm B}{_1}(z)]$	$[{\rm B}{_2}(y)]$	$[{\rm B}{_3}(x)]$
	$[{\rm A}{_1}(z)]$	$[{\rm A}{_2}]$	$[{\rm B}{_1}(x)]$	$[{\rm B}{_2}(y)]$
	$[{\rm A}{_g}]$	$[{\rm B}_{1g}]$	$[{\rm B}_{2g}]$	$[{\rm B}_{3g}]$
		$[{\pmatrix{. & e &. \cr {- e}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & g \cr. &. &. \cr {- g}&. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & i \cr. & {- i}&. \cr }}]$

Tetragonal

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & b \cr }}]$	$[{\pmatrix{ d & e &. \cr e & {- d}&. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & f \cr. &. & h \cr f & h &. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- h} \cr. &. & f \cr {- h}& f &. \cr }}]$
	$[{\rm A}(z)]$	$[{\rm B}]$	$[{\rm E}(x,y)]$
$[\bar 4]$	$[{\rm A}]$	$[{\rm B}(z)]$	$[{\rm E}(x,-y)]$
	$[{\rm A}{_g}]$	$[{\rm B}{_g}]$	$[{\rm E}{_g}]$
	$[{\pmatrix{. & c &. \cr {- c}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$		$[{\pmatrix{. &. & g \cr. &. & i \cr {- g}& {- i}&. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- i} \cr. &. & g \cr i & {- g}&. \cr }}]$

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & b \cr }}]$		$[{\pmatrix{ d &. &. \cr. & {- d}&. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. & e &. \cr e &. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & f \cr. &. &. \cr f &. &. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & f \cr. & f &. \cr }}]$
422	$[{\rm A}{_1}]$	$[{\rm A}{_2}(z)]$	$[{\rm B}{_1}]$	$[{\rm B}{_2}]$	$[{\rm E}(-y,x)]$
	$[{\rm A}{_1}(z)]$	$[{\rm A}{_2} ]$	$[{\rm B}{_1}]$	$[{\rm B}{_2}]$	$[{\rm E}(x,y)]$
$[\bar 42_xm_{xy}]$	$[{\rm A}{_1}]$	$[{\rm A}{_2}]$	$[{\rm B}{_1}]$	$[{\rm B}{_2}(z) ]$	$[{\rm E}(y,x)]$
$[\bar 4m_x2_{xy}]$	$[{\rm A}{_1}]$	$[{\rm A}{_2}]$	$[{\rm B}{_1}]$	$[{\rm B}{_2}(z) ]$	$[{\rm E}(-x,y)]$
	$[{\rm A}_{1g}]$	$[{\rm A}_{2g}]$	$[{\rm B}_{1g}]$	$[{\rm B}_{2g}]$	$[{\rm E}{_g}]$
		$[{\pmatrix{. & c &. \cr {- c}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$			$[{\pmatrix{. &. & g \cr. &. &. \cr {- g}&. &. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & g \cr. & {- g}&. \cr }}]$

Trigonal

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & b \cr }}]$	$[{\pmatrix{ c & f & e \cr f & {- c}& d \cr e & d & . \cr }}\quad{\pmatrix{ f & {- c}& {- d} \cr {- c}& {- f}& e \cr {- d}& e &. \cr }}]$
3	$[{\rm A}(z)]$	$[{\rm E}(x,y)]$
$[\bar 3]$	$[{\rm A}{_g}]$	$[{\rm E}{_g}]$
	$[{\pmatrix{. & h &. \cr {- h}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & i \cr. &. & g \cr {- i}& {- g}&. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- g} \cr. &. & i \cr g & {- i}&. \cr }}]$

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & b \cr }}]$		$[{\pmatrix{f & . &. \cr . &-f & d \cr. & d &. \cr }}\quad{\pmatrix{ . &-f & {- d} \cr-f & .&. \cr {- d}&. &. \cr }}]$
	$[{\rm A}{_1}]$	$[{\rm A}{_2}(z)]$	$[{\rm E}(x,y)]$
	$[{\rm A}{_1}(z)]$	$[{\rm A}{_2}]$	$[{\rm E}(y,-x)]$
$[\bar 3m_x]$	$[{\rm A}_{1g}]$	$[{\rm A}_{2g}]$	$[{\rm E}_{g}]$
		$[{\pmatrix{. & h &. \cr {- h}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & g \cr. & {- g}&. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- g} \cr. &. &. \cr g &. &. \cr }}]$

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & b \cr }}]$		$[{\pmatrix{. & f &. \cr f &. & d \cr. & d &. \cr }}\quad{\pmatrix{ f &.& {- d} \cr. & -f&. \cr {- d}&. &. \cr }}]$
	$[{\rm A}{_1}]$	$[{\rm A}{_2}(z)]$	$[{\rm E}(x,y)]$
	$[{\rm A}{_1}(z)]$	$[{\rm A}{_2}]$	$[{\rm E}(y,-x)]$
$[\bar 3m_y]$	$[{\rm A}_{1g}]$	$[{\rm A}_{2g}]$	$[{\rm E}_{g}]$
		$[{\pmatrix{. & h &. \cr {- h}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & g \cr. & {- g}&. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- g} \cr. &. &. \cr g &. &. \cr }}]$

Hexagonal

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & b \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & e \cr. &. & d\cr e & d &. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- d} \cr. &. & e \cr {- d}& e &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{ c & f &. \cr f & {- c}&. \cr. &. &. \cr }}\quad{\pmatrix{ f & {- c}&. \cr {- c}& {- f}&. \cr. &. &. \cr }}]$
6	$[{\rm A}(z)]$	$[{\rm E}{_1}(x,y)]$	$[{\rm E}{_2}]$
$[\bar 6]$	$[{\rm A}' ]$	$[{\rm E}'']$	$[{\rm E}'(x,y)]$
	$[{\rm A}{_g}]$	$[{\rm E}_{1g}]$	$[{\rm E}_{2g}]$
	$[{\pmatrix{. & h &. \cr {- h}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. & i \cr. &. & g \cr {- i}& {- g}&. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- g} \cr. &. & i \cr g & {- i}&. \cr }}]$

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & b \cr }}]$		$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & d \cr. & d &. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- d} \cr. &. &. \cr {- d}&. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. & f &. \cr f &. &. \cr. &. &. \cr }}\quad{\pmatrix{ f &. &. \cr. & {- f}&. \cr. &. &. \cr }}]$
622	$[{\rm A}{_1}]$	$[{\rm A}{_2}(z) ]$	$[{\rm E}{_1}(x,y)]$	$[{\rm E}{_2}]$
	$[{\rm A}{_1}(z)]$	$[{\rm A}{_2}]$	$[{\rm E}{_1}(y,-x)]$	$[{\rm E}{_2}]$
$[\bar 6m_x2_y]$	$[{\rm A}{_1}']$	$[{\rm A}{_2}' ]$	$[{\rm E}'']$	$[{\rm E}'(x,y)]$
$[\bar 62_xm_y]$	$[{\rm A}{_1}']$	$[{\rm A}{_2}' ]$	$[{\rm E}'']$	$[{\rm E}'(y,-x)]$
	$[{\rm A}_{1g}]$	$[{\rm A}_{2g} ]$	$[{\rm E}_{1g}]$	$[{\rm E}_{2g}]$
		$[{\pmatrix{. & h &. \cr {- h}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & g \cr. & {- g}&. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & {- g} \cr. &. &. \cr g &. &. \cr }}]$

Cubic

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & a \cr }}]$	$[{\pmatrix{ b &. &. \cr. & b &. \cr. &. & {- 2b} \cr }}\quad{\pmatrix{ {- \sqrt{3}b}&. &. \cr. & \sqrt{3}b&. \cr. &. &. \cr }}]$	$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & c \cr. & c &. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & c \cr. &. &. \cr c &. &. \cr }}\quad{\pmatrix{. & c &. \cr c &. &. \cr. &. &. \cr }}]$
23	$[{\rm A}]$	$[{\rm E}]$	$[{\rm F}(x,y,z)]$
	$[{\rm A}{_g}]$	$[{\rm E}{_g}]$	$[{\rm F}{_g}]$
			$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & d \cr. & {- d}&. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & d \cr. &. &. \cr {- d}&. &. \cr }}\quad{\pmatrix{. & d &. \cr {- d}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$

	$[{\pmatrix{ a &. &. \cr. & a &. \cr. &. & a \cr }}]$	$[{\pmatrix{ b &. &. \cr. & b &. \cr. &. & {- 2b} \cr }}\quad{\pmatrix{ {- \sqrt{3}b}&. &. \cr. & {\sqrt{3}}b &. \cr. &. &. \cr }}]$		$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & c \cr. & c &. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & c \cr. &. &. \cr c &. &. \cr }}\quad{\pmatrix{. & c &. \cr c &. &. \cr. &. &. \cr }}]$
432	$[{\rm A}{_1}]$	$[{\rm E}]$	$[{\rm F}{_1}(x,y,z)]$	$[{\rm F}{_2}]$
$[\bar 43m]$	$[{\rm A}{_1}]$	$[{\rm E}]$	$[{\rm F}{_1}]$	$[{\rm F}{_2}(x,y,z)]$
	$[{\rm A}_{1g}]$	$[{\rm E}_{g}]$	$[{\rm F}_{1g}]$	$[{\rm F}_{2g}]$
			$[{\pmatrix{. &. &. \cr. &. & d \cr. & {- d}&. \cr }}\quad{\pmatrix{. &. & d \cr. &. &. \cr {- d}&. &. \cr }}\quad{\pmatrix{. & d &. \cr {- d}&. &. \cr. &. &. \cr }}]$