p6/mmm 6/mmm Hexagonal/Hexagonal
No. 80 p6/mmm Patterson symmetry p6/mmm

symmetry group diagram

Origin at centre (6/mmm)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 1/3; x ≤ (1 + y)/2; y ≤ x/2; 0 ≤ z
Vertices
0, 0   1/2, 0   2/3, 1/3  

Symmetry operations

(1)  1    (2)  3+   0, 0, z (3)  3-   0, 0, z
(4)  2   0, 0, z (5)  6-   0, 0, z (6)  6+   0, 0, z
(7)  2   x, x, 0 (8)  2   x, 0, 0 (9)  2   0, y, 0
(10)  2   x, -x, 0 (11)  2   x, 2x, 0 (12)  2   2x, x, 0
(13)  -1   0, 0, 0 (14)  -3+   0, 0, z; 0, 0, 0 (15)  -3-   0, 0, z; 0, 0, 0
(16)  m   x, y, 0 (17)  -6-   0, 0, z; 0, 0, 0 (18)  -6+   0, 0, z; 0, 0, 0
(19)  m   x, -x, z (20)  m   x, 2x, z (21)  m   2x, x, z
(22)  m   x, x, z (23)  m   x, 0, z (24)  m   0, y, z

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); (2); (4); (7); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
  General:
24 l 1
(1) x, y, z (2) -y, x - y, z (3) -x + y, -x, z
(4) -x, -y, z (5) y, -x + y, z (6) x - y, x, z
(7) y, x, -z (8) x - y, -y, -z (9) -x, -x + y, -z
(10) -y, -x, -z (11) -x + y, y, -z (12) x, x - y, -z
(13) -x, -y, -z (14) y, -x + y, -z (15) x - y, x, -z
(16) x, y, -z (17) -y, x - y, -z (18) -x + y, -x, -z
(19) -y, -x, z (20) -x + y, y, z (21) x, x - y, z
(22) y, x, z (23) x - y, -y, z (24) -x, -x + y, z
no conditions
    Special: no extra conditions
12 k  m . . 
x, y, 0 -y, x - y, 0 -x + y, -x, 0 -x, -y, 0 y, -x + y, 0 x - y, x, 0
y, x, 0 x - y, -y, 0 -x, -x + y, 0 -y, -x, 0 -x + y, y, 0 x, x - y, 0
12 j  . m . 
x, 2x, z -(2x), -x, z x, -x, z -x, -(2x), z 2x, x, z -x, x, z
2x, x, -z -x, -(2x), -z -x, x, -z -(2x), -x, -z x, 2x, -z x, -x, -z
12 i  . . m 
x, 0, z 0, x, z -x, -x, z -x, 0, z 0, -x, z x, x, z
0, x, -z x, 0, -z -x, -x, -z 0, -x, -z -x, 0, -z x, x, -z
6 h  m m 2 
x, 2x, 0 -(2x), -x, 0 x, -x, 0 -x, -(2x), 0 2x, x, 0 -x, x, 0
6 g  m 2 m 
x, 0, 0 0, x, 0 -x, -x, 0 -x, 0, 0 0, -x, 0 x, x, 0
6 f  2 m m 
1/2, 0, z 0, 1/2, z 1/2, 1/2, z 0, 1/2, -z 1/2, 0, -z 1/2, 1/2, -z
4 e  3 m . 
1/3, 2/3, z 2/3, 1/3, z 2/3, 1/3, -z 1/3, 2/3, -z
3 d  m m m 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 1/2, 1/2, 0
2 c  6 m m 
0, 0, z 0, 0, -z
2 b  -6 m 2 
1/3, 2/3, 0 2/3, 1/3, 0
1 a  6/m m m 
0, 0, 0

Symmetry of special projections

Along [001]   p6mm
a' = a   b' = b   
Origin at 0, 0, z		 Along [100]   [script p]2mm
a' = 1/2(a + 2b)   
Origin at x, 0, 0		 Along [210]   [script p]2mm
a' = 1/2b   
Origin at x, 1/2x, 0

Maximal non-isotypic subgroups

I [2] p-62m (79) 1; 2; 3; 7; 8; 9; 16; 17; 18; 22; 23; 24
  [2] p-6m2 (78) 1; 2; 3; 10; 11; 12; 16; 17; 18; 19; 20; 21
  [2] p6mm (77) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 19; 20; 21; 22; 23; 24
  [2] p622 (76) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
  [2] p6/m11 (p6/m, 75) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 13; 14; 15; 16; 17; 18
  [2] p-3m1 (72) 1; 2; 3; 7; 8; 9; 13; 14; 15; 19; 20; 21
  [2] p-31m (71) 1; 2; 3; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 22; 23; 24
  [3] pmmm (cmmm, 47) 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22
  [3] pmmm (cmmm, 47) 1; 4; 8; 11; 13; 16; 20; 23
  [3] pmmm (cmmm, 47) 1; 4; 9; 12; 13; 16; 21; 24
IIa none
IIb none

Maximal isotypic subgroups of lowest index

IIc [3] h6/mmm (a' = 3a, b' = 3b) (p6/mmm, 80)

Minimal non-isotypic supergroups

I none
II none








































to end of page
to top of page