Fd-3 Th4 m-3 Cubic info
No. 203 F2/d-3 Patterson symmetry Fm-3
ORIGIN CHOICE 1

symmetry group diagram

Origin at 2 3, at -1/8, -1/8, -1/8 from centre (-3)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/4; -1/4 ≤ z ≤ 1/4; y ≤ min(x, 1/2 - x); -y ≤ z ≤ y
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/4, 1/4, 1/4  1/4, 1/4, -1/4  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  -1   1/8, 1/8, 1/8(14)  d(1/4, 1/4, 0)   x, y, 1/8(15)  d(1/4, 0, 1/4)   x, 1/8, z(16)  d(0, 1/4, 1/4)   1/8, y, z
(17)  -3+   x, x, x; 1/8, 1/8, 1/8(18)  -3+   -x - 1/2, x + 1/2, -x; -1/8, 1/8, 3/8(19)  -3+   x, -x + 1/2, -x; 1/8, 3/8, -1/8(20)  -3+   -x + 1/2, -x, x; 3/8, -1/8, 1/8
(21)  -3-   x, x, x; 1/8, 1/8, 1/8(22)  -3-   x + 1/2, -x - 1/2, -x; 1/8, -1/8, 3/8(23)  -3-   -x, -x + 1/2, x; -1/8, 3/8, 1/8(24)  -3-   -x + 1/2, x, -x; 3/8, 1/8, -1/8

For (0, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(0, 1/2, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   0, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   0, y, 1/4(4)  2   x, 1/4, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/3, x - 1/6, x(6)  3+   -x, x + 1/2, -x(7)  3+(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, -x - 1/6, -x(8)  3+   -x, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x + 1/6, x(10)  3-(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, -x + 1/6, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x + 1/2, x(12)  3-   -x - 1/2, x + 1/2, -x
(13)  -1   1/8, 3/8, 3/8(14)  d(1/4, 3/4, 0)   x, y, 3/8(15)  d(1/4, 0, 3/4)   x, 3/8, z(16)  d(0, 3/4, 3/4)   1/8, y, z
(17)  -3+   x, x + 1/2, x; 1/8, 5/8, 1/8(18)  -3+   -x - 3/2, x + 1, -x; -5/8, 1/8, 7/8(19)  -3+   x, -x + 1, -x; 1/8, 7/8, -1/8(20)  -3+   -x + 3/2, -x + 1/2, x; 7/8, -1/8, 5/8
(21)  -3-   x - 1/2, x - 1/2, x; 1/8, 1/8, 5/8(22)  -3-   x + 1, -x - 1, -x; 1/8, -1/8, 7/8(23)  -3-   -x - 1/2, -x + 1, x; -5/8, 7/8, 1/8(24)  -3-   -x + 1, x + 1/2, -x; 7/8, 5/8, -1/8

For (1/2, 0, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 0, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/4, 0, z(3)  2   1/4, y, 1/4(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x - 1/6, x(6)  3+(1/3, -1/3, 1/3)   -x + 1/6, x + 1/6, -x(7)  3+   x + 1/2, -x - 1/2, -x(8)  3+   -x + 1/2, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x - 1/3, x(10)  3-   x + 1/2, -x, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x, x(12)  3-(1/3, -1/3, 1/3)   -x - 1/6, x + 1/3, -x
(13)  -1   3/8, 1/8, 3/8(14)  d(3/4, 1/4, 0)   x, y, 3/8(15)  d(3/4, 0, 3/4)   x, 1/8, z(16)  d(0, 1/4, 3/4)   3/8, y, z
(17)  -3+   x - 1/2, x - 1/2, x; 1/8, 1/8, 5/8(18)  -3+   -x - 1, x + 1, -x; -1/8, 1/8, 7/8(19)  -3+   x + 1/2, -x + 1, -x; 5/8, 7/8, -1/8(20)  -3+   -x + 1, -x - 1/2, x; 7/8, -5/8, 1/8
(21)  -3-   x + 1/2, x, x; 5/8, 1/8, 1/8(22)  -3-   x + 1, -x - 3/2, -x; 1/8, -5/8, 7/8(23)  -3-   -x + 1/2, -x + 3/2, x; -1/8, 7/8, 5/8(24)  -3-   -x + 1, x, -x; 7/8, 1/8, -1/8

For (1/2, 1/2, 0)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 0)   (2)  2   1/4, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/4, y, 0(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 0
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x + 1/3, x(6)  3+   -x + 1/2, x, -x(7)  3+   x + 1/2, -x, -x(8)  3+(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/6, -x + 1/3, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, x + 1/6, x(10)  3-   x, -x + 1/2, -x(11)  3-(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/3, -x + 1/6, x(12)  3-   -x, x + 1/2, -x
(13)  -1   3/8, 3/8, 1/8(14)  d(3/4, 3/4, 0)   x, y, 1/8(15)  d(3/4, 0, 1/4)   x, 3/8, z(16)  d(0, 3/4, 1/4)   3/8, y, z
(17)  -3+   x + 1/2, x, x; 5/8, 1/8, 1/8(18)  -3+   -x - 1, x + 3/2, -x; -1/8, 5/8, 7/8(19)  -3+   x - 1/2, -x + 3/2, -x; 1/8, 7/8, -5/8(20)  -3+   -x + 1, -x, x; 7/8, -1/8, 1/8
(21)  -3-   x, x + 1/2, x; 1/8, 5/8, 1/8(22)  -3-   x + 3/2, -x - 1, -x; 5/8, -1/8, 7/8(23)  -3-   -x, -x + 1, x; -1/8, 7/8, 1/8(24)  -3-   -x + 3/2, x - 1/2, -x; 7/8, 1/8, -5/8

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(0, 1/2, 1/2); t(1/2, 0, 1/2); (2); (3); (5); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (0, 1/2, 1/2)+  (1/2, 0, 1/2)+  (1/2, 1/2, 0)+  h, k, l cyclically permutable
General:
96 g 1
(1) x, y, z(2) -x, -y, z(3) -x, y, -z(4) x, -y, -z
(5) z, x, y(6) z, -x, -y(7) -z, -x, y(8) -z, x, -y
(9) y, z, x(10) -y, z, -x(11) y, -z, -x(12) -y, -z, x
(13) -x + 1/4, -y + 1/4, -z + 1/4(14) x + 1/4, y + 1/4, -z + 1/4(15) x + 1/4, -y + 1/4, z + 1/4(16) -x + 1/4, y + 1/4, z + 1/4
(17) -z + 1/4, -x + 1/4, -y + 1/4(18) -z + 1/4, x + 1/4, y + 1/4(19) z + 1/4, x + 1/4, -y + 1/4(20) z + 1/4, -x + 1/4, y + 1/4
(21) -y + 1/4, -z + 1/4, -x + 1/4(22) y + 1/4, -z + 1/4, x + 1/4(23) -y + 1/4, z + 1/4, x + 1/4(24) y + 1/4, z + 1/4, -x + 1/4
hkl : h + k = 2n
and h + l, k + l = 2n
0kl : k + l = 4n
and k, l = 2n
hhl : h + l = 2n
h00 : h = 4n
    Special: as above, plus
48 f  2 . . 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0 0, 0, x 0, 0, -x
-x + 1/4, 1/4, 1/4x + 1/4, 1/4, 1/4 1/4, -x + 1/4, 1/4 1/4, x + 1/4, 1/4 1/4, 1/4, -x + 1/4 1/4, 1/4, x + 1/4
hkl : h = 2n + 1
or h + k + l = 4n
32 e  . 3 . 
x, x, x -x, -x, x -x, x, -xx, -x, -x
-x + 1/4, -x + 1/4, -x + 1/4x + 1/4, x + 1/4, -x + 1/4x + 1/4, -x + 1/4, x + 1/4 -x + 1/4, x + 1/4, x + 1/4
no extra conditions
16 d  . -3 . 
5/8, 5/8, 5/8 3/8, 3/8, 5/8 3/8, 5/8, 3/8 5/8, 3/8, 3/8
hkl : h = 2n + 1 or h, k, l = 4n + 2 or h, k, l = 4n
16 c  . -3 . 
1/8, 1/8, 1/8 7/8, 7/8, 1/8 7/8, 1/8, 7/8 1/8, 7/8, 7/8
8 b  2 3 . 
1/2, 1/2, 1/2 3/4, 3/4, 3/4
hkl : h = 2n + 1 or h + k + l = 4n
8 a  2 3 . 
0, 0, 0 1/4, 1/4, 1/4

Symmetry of special projections

Along [001]   c2mm
a' = 1/2a   b' = 1/2b   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p6
a' = 1/6(2a - b - c)   b' = 1/6(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   c2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 1/8

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] F23 (196)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12)+
  [3] Fd1 (Fddd, 70)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16)+
 [brace][4] F1-3 (R-3, 148)(1; 5; 9; 13; 17; 21)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 6; 12; 13; 18; 24)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 7; 10; 13; 19; 22)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 8; 11; 13; 20; 23)+
IIa none
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Fd-3 (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (203)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] Fd-3m (227); [2] Fd-3c (228)
II[2] Pn-3 (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (201)





Fd-3 Th4 m-3 Cubic info
No. 203 F2/d-3 Patterson symmetry Fm-3
ORIGIN CHOICE 2

symmetry group diagram

Origin at centre (-3), at 1/8, 1/8, 1/8 from 2 3

Asymmetric unit -1/8 ≤ x ≤ 3/8; -1/8 ≤ y ≤ 1/8; -3/8 ≤ z ≤ 1/8; y ≤ min(x, 1/4 - x); -y - 1/4 ≤ z ≤ y
Vertices
-1/8, -1/8, -1/8  3/8, -1/8, -1/8  1/8, 1/8, 1/8  1/8, 1/8, -3/8  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2   3/8, 3/8, z(3)  2   3/8, y, 3/8(4)  2   x, 3/8, 3/8
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x + 3/4, -x(7)  3+   x + 3/4, -x, -x(8)  3+   -x + 3/4, -x + 3/4, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x + 3/4, -x, -x(11)  3-   -x + 3/4, -x + 3/4, x(12)  3-   -x, x + 3/4, -x
(13)  -1   0, 0, 0(14)  d(1/4, 1/4, 0)   x, y, 0(15)  d(1/4, 0, 1/4)   x, 0, z(16)  d(0, 1/4, 1/4)   0, y, z
(17)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(18)  -3+   -x - 1/2, x + 1/4, -x; -1/4, 0, 1/4(19)  -3+   x - 1/4, -x + 1/2, -x; 0, 1/4, -1/4(20)  -3+   -x + 1/4, -x - 1/4, x; 1/4, -1/4, 0
(21)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0(22)  -3-   x + 1/4, -x - 1/2, -x; 0, -1/4, 1/4(23)  -3-   -x - 1/4, -x + 1/4, x; -1/4, 1/4, 0(24)  -3-   -x + 1/2, x - 1/4, -x; 1/4, 0, -1/4

For (0, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(0, 1/2, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   3/8, 1/8, z(3)  2(0, 1/2, 0)   3/8, y, 1/8(4)  2   x, 1/8, 1/8
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/3, x - 1/6, x(6)  3+   -x, x + 1/4, -x(7)  3+   x + 3/4, -x - 1/2, -x(8)  3+(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 5/12, -x + 7/12, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x + 1/6, x(10)  3-   x + 1/4, -x + 1/2, -x(11)  3-   -x + 1/4, -x + 1/4, x(12)  3-(1/3, -1/3, 1/3)   -x - 1/6, x + 7/12, -x
(13)  -1   0, 1/4, 1/4(14)  d(1/4, 3/4, 0)   x, y, 1/4(15)  d(1/4, 0, 3/4)   x, 1/4, z(16)  d(0, 3/4, 3/4)   0, y, z
(17)  -3+   x, x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(18)  -3+   -x - 3/2, x + 3/4, -x; -3/4, 0, 3/4(19)  -3+   x - 1/4, -x + 1, -x; 0, 3/4, -1/4(20)  -3+   -x + 5/4, -x + 1/4, x; 3/4, -1/4, 1/2
(21)  -3-   x - 1/2, x - 1/2, x; 0, 0, 1/2(22)  -3-   x + 3/4, -x - 1, -x; 0, -1/4, 3/4(23)  -3-   -x - 3/4, -x + 3/4, x; -3/4, 3/4, 0(24)  -3-   -x + 1, x + 1/4, -x; 3/4, 1/2, -1/4

For (1/2, 0, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 0, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/8, 3/8, z(3)  2   1/8, y, 1/8(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 3/8, 1/8
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x - 1/6, x(6)  3+   -x + 1/2, x + 1/4, -x(7)  3+(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 7/12, -x - 1/6, -x(8)  3+   -x + 1/4, -x + 1/4, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x - 1/3, x(10)  3-   x + 1/4, -x, -x(11)  3-(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 7/12, -x + 5/12, x(12)  3-   -x - 1/2, x + 3/4, -x
(13)  -1   1/4, 0, 1/4(14)  d(3/4, 1/4, 0)   x, y, 1/4(15)  d(3/4, 0, 3/4)   x, 0, z(16)  d(0, 1/4, 3/4)   1/4, y, z
(17)  -3+   x - 1/2, x - 1/2, x; 0, 0, 1/2(18)  -3+   -x - 1, x + 3/4, -x; -1/4, 0, 3/4(19)  -3+   x + 1/4, -x + 1, -x; 1/2, 3/4, -1/4(20)  -3+   -x + 3/4, -x - 3/4, x; 3/4, -3/4, 0
(21)  -3-   x + 1/2, x, x; 1/2, 0, 0(22)  -3-   x + 3/4, -x - 3/2, -x; 0, -3/4, 3/4(23)  -3-   -x + 1/4, -x + 5/4, x; -1/4, 3/4, 1/2(24)  -3-   -x + 1, x - 1/4, -x; 3/4, 0, -1/4

For (1/2, 1/2, 0)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 0)   (2)  2   1/8, 1/8, z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/8, y, 3/8(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/8, 3/8
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x + 1/3, x(6)  3+(1/3, -1/3, 1/3)   -x + 1/6, x + 5/12, -x(7)  3+   x + 1/4, -x, -x(8)  3+   -x + 1/4, -x + 3/4, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, x + 1/6, x(10)  3-(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 5/12, -x + 1/6, -x(11)  3-   -x + 3/4, -x + 1/4, x(12)  3-   -x, x + 1/4, -x
(13)  -1   1/4, 1/4, 0(14)  d(3/4, 3/4, 0)   x, y, 0(15)  d(3/4, 0, 1/4)   x, 1/4, z(16)  d(0, 3/4, 1/4)   1/4, y, z
(17)  -3+   x + 1/2, x, x; 1/2, 0, 0(18)  -3+   -x - 1, x + 5/4, -x; -1/4, 1/2, 3/4(19)  -3+   x - 3/4, -x + 3/2, -x; 0, 3/4, -3/4(20)  -3+   -x + 3/4, -x - 1/4, x; 3/4, -1/4, 0
(21)  -3-   x, x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(22)  -3-   x + 5/4, -x - 1, -x; 1/2, -1/4, 3/4(23)  -3-   -x - 1/4, -x + 3/4, x; -1/4, 3/4, 0(24)  -3-   -x + 3/2, x - 3/4, -x; 3/4, 0, -3/4

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(0, 1/2, 1/2); t(1/2, 0, 1/2); (2); (3); (5); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (0, 1/2, 1/2)+  (1/2, 0, 1/2)+  (1/2, 1/2, 0)+  h, k, l cyclically permutable
General:
96 g 1
(1) x, y, z(2) -x + 3/4, -y + 3/4, z(3) -x + 3/4, y, -z + 3/4(4) x, -y + 3/4, -z + 3/4
(5) z, x, y(6) z, -x + 3/4, -y + 3/4(7) -z + 3/4, -x + 3/4, y(8) -z + 3/4, x, -y + 3/4
(9) y, z, x(10) -y + 3/4, z, -x + 3/4(11) y, -z + 3/4, -x + 3/4(12) -y + 3/4, -z + 3/4, x
(13) -x, -y, -z(14) x + 1/4, y + 1/4, -z(15) x + 1/4, -y, z + 1/4(16) -x, y + 1/4, z + 1/4
(17) -z, -x, -y(18) -z, x + 1/4, y + 1/4(19) z + 1/4, x + 1/4, -y(20) z + 1/4, -x, y + 1/4
(21) -y, -z, -x(22) y + 1/4, -z, x + 1/4(23) -y, z + 1/4, x + 1/4(24) y + 1/4, z + 1/4, -x
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
0kl : k + l = 4n,  k, l = 2n
hhl : h + l = 2n
h00 : h = 4n
    Special: as above, plus
48 f  2 . . 
x, 1/8, 1/8 -x + 3/4, 5/8, 1/8 1/8, x, 1/8 1/8, -x + 3/4, 5/8 1/8, 1/8, x 5/8, 1/8, -x + 3/4
-x, 7/8, 7/8x + 1/4, 3/8, 7/8 7/8, -x, 7/8 7/8, x + 1/4, 3/8 7/8, 7/8, -x 3/8, 7/8, x + 1/4
hkl : h = 2n + 1
or h + k + l = 4n
32 e  . 3 . 
x, x, x -x + 3/4, -x + 3/4, x -x + 3/4, x, -x + 3/4x, -x + 3/4, -x + 3/4
-x, -x, -xx + 1/4, x + 1/4, -xx + 1/4, -x, x + 1/4 -x, x + 1/4, x + 1/4
no extra conditions
16 d  . -3 . 
1/2, 1/2, 1/2 1/4, 1/4, 1/2 1/4, 1/2, 1/4 1/2, 1/4, 1/4
hkl : h = 2n + 1 or h, k, l = 4n + 2 or h, k, l = 4n
16 c  . -3 . 
0, 0, 0 3/4, 3/4, 0 3/4, 0, 3/4 0, 3/4, 3/4
8 b  2 3 . 
5/8, 5/8, 5/8 3/8, 3/8, 3/8
hkl : h = 2n + 1 or h + k + l = 4n
8 a  2 3 . 
1/8, 1/8, 1/8 7/8, 7/8, 7/8

Symmetry of special projections

Along [001]   c2mm
a' = 1/2a   b' = 1/2b   
Origin at 1/8, 1/8, z		Along [111]   p6
a' = 1/6(2a - b - c)   b' = 1/6(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   c2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] F23 (196)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12)+
  [3] Fd1 (Fddd, 70)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16)+
 [brace][4] F1-3 (R-3, 148)(1; 5; 9; 13; 17; 21)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 6; 12; 13; 18; 24)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 7; 10; 13; 19; 22)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 8; 11; 13; 20; 23)+
IIa none
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Fd-3 (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (203)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] Fd-3m (227); [2] Fd-3c (228)
II[2] Pn-3 (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (201)








































to end of page
to top of page