R32 D37 32 Trigonal info
No. 155 R32 Patterson symmetry R-3m
HEXAGONAL AXES

symmetry group diagram

Origin at 3 2

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 2/3; 0 ≤ z ≤ 1/6; x ≤ (1 + y)/2; y ≤ min(1 - x, (1 + x)/2)
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  2/3, 1/3, 0  1/3, 2/3, 0  0, 1/2, 0  
0, 0, 1/6  1/2, 0, 1/6  2/3, 1/3, 1/6  1/3, 2/3, 1/6  0, 1/2, 1/6  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  3+   0, 0, z(3)  3-   0, 0, z
(4)  2   x, x, 0(5)  2   x, 0, 0(6)  2   0, y, 0

For (2/3, 1/3, 1/3)+ set

(1)  t(2/3, 1/3, 1/3)   (2)  3+(0, 0, 1/3)   1/3, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 1/3)   1/3, 0, z
(4)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x - 1/6, 1/6(5)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/6, 1/6(6)  2   1/3, y, 1/6

For (1/3, 2/3, 2/3)+ set

(1)  t(1/3, 2/3, 2/3)   (2)  3+(0, 0, 2/3)   0, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 2/3)   1/3, 1/3, z
(4)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x + 1/6, 1/3(5)  2   x, 1/3, 1/3(6)  2(0, 1/2, 0)   1/6, y, 1/3

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/3, 1/3, 1/3); (2); (4)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (2/3, 1/3, 1/3)+  (1/3, 2/3, 2/3)+  General:
18 f 1
(1) x, y, z(2) -y, x - y, z(3) -x + y, -x, z
(4) y, x, -z(5) x - y, -y, -z(6) -x, -x + y, -z
hkil :  -h + k + l = 3n
hki0 :  -h + k = 3n
hh(-2h)l : l = 3n
h-h0l : h + l = 3n
000l : l = 3n
h-h00 : h = 3n
    Special: as above, plus
9 e  . 2 
x, 0, 1/2 0, x, 1/2 -x, -x, 1/2
no extra conditions
9 d  . 2 
x, 0, 0 0, x, 0 -x, -x, 0
no extra conditions
6 c  3 . 
0, 0, z 0, 0, -z
no extra conditions
3 b  3 2 
0, 0, 1/2
no extra conditions
3 a  3 2 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [001]   p3m1
a' = 1/3(2a + b)   b' = 1/3(-a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [100]   p2
a' = 1/2(a + 2b)   b' = 1/3(-a - 2b + c)   
Origin at x, 0, 0		Along [210]   p11m
a' = 1/2b   b' = 1/3c   
Origin at x, 1/2x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R31 (R3, 146)(1; 2; 3)+
 [brace][3] R12 (C2, 5)(1; 4)+
 [3] R12 (C2, 5)(1; 5)+
 [3] R12 (C2, 5)(1; 6)+
IIabrace[3] P3221 (154)1; 4; (2; 6) + (1/3, 2/3, 2/3); (3; 5) + (2/3, 1/3, 1/3)
 [3] P3221 (154)1; 5; (2; 4) + (1/3, 2/3, 2/3); (3; 6) + (2/3, 1/3, 1/3)
 [3] P3221 (154)1; 6; (2; 5) + (1/3, 2/3, 2/3); (3; 4) + (2/3, 1/3, 1/3)
 brace[3] P3121 (152)1; 4; (2; 6) + (2/3, 1/3, 1/3); (3; 5) + (1/3, 2/3, 2/3)
 [3] P3121 (152)1; 5; (2; 4) + (2/3, 1/3, 1/3); (3; 6) + (1/3, 2/3, 2/3)
 [3] P3121 (152)1; 6; (2; 5) + (2/3, 1/3, 1/3); (3; 4) + (1/3, 2/3, 2/3)
 brace[3] P321 (150)1; 2; 3; 4; 5; 6
 [3] P321 (150)1; 2; 3; (4; 5; 6) + (1/3, 2/3, 2/3)
 [3] P321 (150)1; 2; 3; (4; 5; 6) + (2/3, 1/3, 1/3)
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[2] R32 (a' = -a, b' = -b, c' = 2c) (155); [4] R32 (a' = -2a, b' = -2b) (155)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] R-3m (166); [2] R-3c (167); [4] P432 (207); [4] P4232 (208); [4] F432 (209); [4] F4132 (210); [4] I432 (211); [4] P4332 (212); [4] P4132 (213); [4] I4132 (214)
II[3] P312 (a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c) (149)





R32 D37 32 Trigonal info
No. 155 R32 Patterson symmetry R-3m
RHOMBOHEDRAL AXES

symmetry group diagram

Origin at 3 2

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1/2; z ≤ min(x, y, 1 - x, 1 - y)
Vertices
0, 0, 0  1, 0, 0  1, 1, 0  0, 1, 0  1/2, 1/2, 1/2  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  3+   x, x, x(3)  3-   x, x, x
(4)  2   -x, 0, x(5)  2   x, -x, 0(6)  2   0, y, -y

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 General:
6 f 1
(1) x, y, z(2) z, x, y(3) y, z, x
(4) -z, -y, -x (5) -y, -x, -z(6) -x, -z, -y
no conditions
    Special: as above, plus
3 e  . 2 
1/2, y, -y -y, 1/2, yy, -y, 1/2
no extra conditions
3 d  . 2 
0, y, -y -y, 0, yy, -y, 0
no extra conditions
2 c  3 . 
x, x, x -x, -x, -x
no extra conditions
1 b  3 2 
1/2, 1/2, 1/2
no extra conditions
1 a  3 2 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [111]   p3m1
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [1-10]   p2
a' = 1/2(a + b - 2c)   b' = c   
Origin at x, -x, 0		Along [2-1-1]   p11m
a' = 1/2(b - c)   b' = 1/3(a + b + c)   
Origin at 2x, -x, -x

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R31 (R3, 146)1; 2; 3
 [brace][3] R12 (C2, 5)1; 4
 [3] R12 (C2, 5)1; 5
 [3] R12 (C2, 5)1; 6
IIa none
IIb[3] P321 (a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c) (150); [3] P3121 (a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c) (152); [3] P3221 (a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c) (154)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[2] R32 (a' = b + c, b' = a + c, c' = a + b) (155); [4] R32 (a' = -a + b + c, b' = a - b + c, c' = a + b - c) (155)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] R-3m (166); [2] R-3c (167); [4] P432 (207); [4] P4232 (208); [4] F432 (209); [4] F4132 (210); [4] I432 (211); [4] P4332 (212); [4] P4132 (213); [4] I4132 (214)
II[3] P312 (a' = 1/3(2a - b - c), b' = 1/3(-a + 2b - c), c' = 1/3(a + b + c)) (149)








































to end of page
to top of page