R3m C3v5 3m Trigonal info
No. 160 R3m Patterson symmetry R-3m
HEXAGONAL AXES

symmetry group diagram

Origin on 3 m

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 2/3; 0 ≤ z ≤ 1/3; x ≤ 2y; y ≤ min(1 - x, 2x)
Vertices
0, 0, 0  2/3, 1/3, 0  1/3, 2/3, 0  
0, 0, 1/3  2/3, 1/3, 1/3  1/3, 2/3, 1/3  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  3+   0, 0, z(3)  3-   0, 0, z
(4)  m   x, -x, z(5)  m   x, 2x, z(6)  m   2x, x, z

For (2/3, 1/3, 1/3)+ set

(1)  t(2/3, 1/3, 1/3)   (2)  3+(0, 0, 1/3)   1/3, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 1/3)   1/3, 0, z
(4)  g(1/6, -1/6, 1/3)   x + 1/2, -x, z(5)  g(1/6, 1/3, 1/3)   x + 1/4, 2x, z(6)  g(2/3, 1/3, 1/3)   2x, x, z

For (1/3, 2/3, 2/3)+ set

(1)  t(1/3, 2/3, 2/3)   (2)  3+(0, 0, 2/3)   0, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 2/3)   1/3, 1/3, z
(4)  g(-1/6, 1/6, 2/3)   x + 1/2, -x, z(5)  g(1/3, 2/3, 2/3)   x, 2x, z(6)  g(1/3, 1/6, 2/3)   2x - 1/2, x, z

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/3, 1/3, 1/3); (2); (4)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (2/3, 1/3, 1/3)+  (1/3, 2/3, 2/3)+  General:
18 c 1
(1) x, y, z(2) -y, x - y, z(3) -x + y, -x, z
(4) -y, -x, z(5) -x + y, y, z(6) x, x - y, z
hkil :  -h + k + l = 3n
hki0 :  -h + k = 3n
hh(-2h)l : l = 3n
h-h0l : h + l = 3n
000l : l = 3n
h-h00 : h = 3n
    Special: as above, plus
9 b  . m 
x, -x, zx, 2x, z (-2x), -x, z
no extra conditions
3 a  3 m 
0, 0, z
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [001]   p31m
a' = 1/3(2a + b)   b' = 1/3(-a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [100]   p1
a' = 1/2(a + 2b)   b' = 1/3(-a - 2b + c)   
Origin at x, 0, 0		Along [210]   p1m1
a' = 1/2b   b' = 1/3c   
Origin at x, 1/2x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R31 (R3, 146)(1; 2; 3)+
 [brace][3] R1m (Cm, 8)(1; 4)+
 [3] R1m (Cm, 8)(1; 5)+
 [3] R1m (Cm, 8)(1; 6)+
IIa [3] P3m1 (156)1; 2; 3; 4; 5; 6
IIb[2] R3c (a' = -a, b' = -b, c' = 2c) (161)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[2] R3m (a' = -a, b' = -b, c' = 2c) (160); [4] R3m (a' = -2a, b' = -2b) (160)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] R-3m (166); [4] P-43m (215); [4] F-43m (216); [4] I-43m (217)
II[3] P31m (a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c) (157)








































to end of page
to top of page