R-3m D3d5 -3m Trigonal info
No. 166 R-32/m Patterson symmetry R-3m
HEXAGONAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 2/3; 0 ≤ z ≤ 1/6; x ≤ 2y; y ≤ min(1 - x, 2x)
Vertices
0, 0, 0  2/3, 1/3, 0  1/3, 2/3, 0  
0, 0, 1/6  2/3, 1/3, 1/6  1/3, 2/3, 1/6  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  3+   0, 0, z(3)  3-   0, 0, z
(4)  2   x, x, 0(5)  2   x, 0, 0(6)  2   0, y, 0
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   0, 0, z; 0, 0, 0(9)  -3-   0, 0, z; 0, 0, 0
(10)  m   x, -x, z(11)  m   x, 2x, z(12)  m   2x, x, z

For (2/3, 1/3, 1/3)+ set

(1)  t(2/3, 1/3, 1/3)   (2)  3+(0, 0, 1/3)   1/3, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 1/3)   1/3, 0, z
(4)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x - 1/6, 1/6(5)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/6, 1/6(6)  2   1/3, y, 1/6
(7)  -1   1/3, 1/6, 1/6(8)  -3+   1/3, -1/3, z; 1/3, -1/3, 1/6(9)  -3-   1/3, 2/3, z; 1/3, 2/3, 1/6
(10)  g(1/6, -1/6, 1/3)   x + 1/2, -x, z(11)  g(1/6, 1/3, 1/3)   x + 1/4, 2x, z(12)  g(2/3, 1/3, 1/3)   2x, x, z

For (1/3, 2/3, 2/3)+ set

(1)  t(1/3, 2/3, 2/3)   (2)  3+(0, 0, 2/3)   0, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 2/3)   1/3, 1/3, z
(4)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x + 1/6, 1/3(5)  2   x, 1/3, 1/3(6)  2(0, 1/2, 0)   1/6, y, 1/3
(7)  -1   1/6, 1/3, 1/3(8)  -3+   2/3, 1/3, z; 2/3, 1/3, 1/3(9)  -3-   -1/3, 1/3, z; -1/3, 1/3, 1/3
(10)  g(-1/6, 1/6, 2/3)   x + 1/2, -x, z(11)  g(1/3, 2/3, 2/3)   x, 2x, z(12)  g(1/3, 1/6, 2/3)   2x - 1/2, x, z

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/3, 1/3, 1/3); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (2/3, 1/3, 1/3)+  (1/3, 2/3, 2/3)+  General:
36 i 1
(1) x, y, z(2) -y, x - y, z(3) -x + y, -x, z
(4) y, x, -z(5) x - y, -y, -z(6) -x, -x + y, -z
(7) -x, -y, -z(8) y, -x + y, -z(9) x - y, x, -z
(10) -y, -x, z(11) -x + y, y, z(12) x, x - y, z
hkil :  -h + k + l = 3n
hki0 :  -h + k = 3n
hh(-2h)l : l = 3n
h-h0l : h + l = 3n
000l : l = 3n
h-h00 : h = 3n
    Special: as above, plus
18 h  . m 
x, -x, zx, 2x, z (-2x), -x, z -x, x, -z 2x, x, -z -x, (-2x), -z
no extra conditions
18 g  . 2 
x, 0, 1/2 0, x, 1/2 -x, -x, 1/2 -x, 0, 1/2 0, -x, 1/2x, x, 1/2
no extra conditions
18 f  . 2 
x, 0, 0 0, x, 0 -x, -x, 0 -x, 0, 0 0, -x, 0x, x, 0
no extra conditions
9 e  . 2/m 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 1/2, 1/2, 0
no extra conditions
9 d  . 2/m 
1/2, 0, 1/2 0, 1/2, 1/2 1/2, 1/2, 1/2
no extra conditions
6 c  3 m 
0, 0, z 0, 0, -z
no extra conditions
3 b  -3 m 
0, 0, 1/2
no extra conditions
3 a  -3 m 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [001]   p6mm
a' = 1/3(2a + b)   b' = 1/3(-a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [100]   p2
a' = 1/2(a + 2b)   b' = 1/3(-a - 2b + c)   
Origin at x, 0, 0		Along [210]   p2mm
a' = 1/2b   b' = 1/3c   
Origin at x, 1/2x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R3m (160)(1; 2; 3; 10; 11; 12)+
  [2] R32 (155)(1; 2; 3; 4; 5; 6)+
  [2] R-31 (R-3, 148)(1; 2; 3; 7; 8; 9)+
 [brace][3] R12/m (C2/m, 12)(1; 4; 7; 10)+
 [3] R12/m (C2/m, 12)(1; 5; 7; 11)+
 [3] R12/m (C2/m, 12)(1; 6; 7; 12)+
IIabrace[3] P-3m1 (164)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
 [3] P-3m1 (164)1; 2; 3; 10; 11; 12; (4; 5; 6; 7; 8; 9) + (2/3, 1/3, 1/3)
 [3] P-3m1 (164)1; 2; 3; 10; 11; 12; (4; 5; 6; 7; 8; 9) + (1/3, 2/3, 2/3)
IIb[2] R-3c (a' = -a, b' = -b, c' = 2c) (167)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[2] R-3m (a' = -a, b' = -b, c' = 2c) (166); [4] R-3m (a' = -2a, b' = -2b) (166)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[4] Pm-3m (221); [4] Pn-3m (224); [4] Fm-3m (225); [4] Fd-3m (227); [4] Im-3m (229)
II[3] P-31m (a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c) (162)





R-3m D3d5 -3m Trigonal info
No. 166 R-32/m Patterson symmetry R-3m
RHOMBOHEDRAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1/2; y ≤ x; z ≤ min (y, 1 - x)
Vertices
0, 0, 0  1, 0, 0  1, 1, 0  1/2, 1/2, 1/2  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  3+   x, x, x(3)  3-   x, x, x
(4)  2   -x, 0, x(5)  2   x, -x, 0(6)  2   0, y, -y
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(9)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0
(10)  m   x, y, x(11)  m   x, x, z(12)  m   x, y, y

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 General:
12 i 1
(1) x, y, z(2) z, x, y(3) y, z, x
(4) -z, -y, -x(5) -y, -x, -z(6) -x, -z, -y
(7) -x, -y, -z(8) -z, -x, -y(9) -y, -z, -x
(10) z, y, x(11) y, x, z(12) x, z, y
no conditions
    Special: as above, plus
6 h  . m 
x, x, zz, x, xx, z, x -z, -x, -x -x, -x, -z -x, -z, -x
no extra conditions
6 g  . 2 
x, -x, 1/2 1/2, x, -x -x, 1/2, x -x, x, 1/2 1/2, -x, xx, 1/2, -x
no extra conditions
6 f  . 2 
x, -x, 0 0, x, -x -x, 0, x -x, x, 0 0, -x, xx, 0, -x
no extra conditions
3 e  . 2/m 
0, 1/2, 1/2 1/2, 0, 1/2 1/2, 1/2, 0
no extra conditions
3 d  . 2/m 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 0, 0, 1/2
no extra conditions
2 c  3 m 
x, x, x -x, -x, -x
no extra conditions
1 b  -3 m 
1/2, 1/2, 1/2
no extra conditions
1 a  -3 m 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [1-10]   p2
a' = 1/2(a + b - 2c)   b' = c   
Origin at x, -x, 0		Along [2-1-1]   p2mm
a' = 1/2(b - c)   b' = 1/3(a + b + c)   
Origin at 2x, -x, -x

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R3m (160)1; 2; 3; 10; 11; 12
  [2] R32 (155)1; 2; 3; 4; 5; 6
  [2] R-31 (R-3, 148)1; 2; 3; 7; 8; 9
 [brace][3] R12/m (C2/m, 12)1; 4; 7; 10
 [3] R12/m (C2/m, 12)1; 5; 7; 11
 [3] R12/m (C2/m, 12)1; 6; 7; 12
IIa none
IIb[2] F-3c (a' = 2a, b' = 2b, c' = 2c) (R-3c, 167); [3] P-3m1 (a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c) (164)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[2] R-3m (a' = b + c, b' = a + c, c' = a + b) (166); [4] R-3m (a' = -a + b + c, b' = a - b + c, c' = a + b - c) (166)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[4] Pm-3m (221); [4] Pn-3m (224); [4] Fm-3m (225); [4] Fd-3m (227); [4] Im-3m (229)
II[3] P-31m (a' = 1/3(2a - b - c), b' = 1/3(-a + 2b - c), c' = 1/3(a + b + c)) (162)








































to end of page
to top of page