R-3m D3d5 -3m Trigonal info
No. 166 R-32/m Patterson symmetry R-3m
RHOMBOHEDRAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1/2; y ≤ x; z ≤ min (y, 1 - x)
Vertices
0, 0, 0  1, 0, 0  1, 1, 0  1/2, 1/2, 1/2  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  3+   x, x, x(3)  3-   x, x, x
(4)  2   -x, 0, x(5)  2   x, -x, 0(6)  2   0, y, -y
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(9)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0
(10)  m   x, y, x(11)  m   x, x, z(12)  m   x, y, y

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 General:
12 i 1
(1) x, y, z(2) z, x, y(3) y, z, x
(4) -z, -y, -x(5) -y, -x, -z(6) -x, -z, -y
(7) -x, -y, -z(8) -z, -x, -y(9) -y, -z, -x
(10) z, y, x(11) y, x, z(12) x, z, y
no conditions
    Special: as above, plus
6 h  . m 
x, x, zz, x, xx, z, x -z, -x, -x -x, -x, -z -x, -z, -x
no extra conditions
6 g  . 2 
x, -x, 1/2 1/2, x, -x -x, 1/2, x -x, x, 1/2 1/2, -x, xx, 1/2, -x
no extra conditions
6 f  . 2 
x, -x, 0 0, x, -x -x, 0, x -x, x, 0 0, -x, xx, 0, -x
no extra conditions
3 e  . 2/m 
0, 1/2, 1/2 1/2, 0, 1/2 1/2, 1/2, 0
no extra conditions
3 d  . 2/m 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 0, 0, 1/2
no extra conditions
2 c  3 m 
x, x, x -x, -x, -x
no extra conditions
1 b  -3 m 
1/2, 1/2, 1/2
no extra conditions
1 a  -3 m 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [1-10]   p2
a' = 1/2(a + b - 2c)   b' = c   
Origin at x, -x, 0		Along [2-1-1]   p2mm
a' = 1/2(b - c)   b' = 1/3(a + b + c)   
Origin at 2x, -x, -x

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R3m (160)1; 2; 3; 10; 11; 12
  [2] R32 (155)1; 2; 3; 4; 5; 6
  [2] R-31 (R-3, 148)1; 2; 3; 7; 8; 9
 [brace][3] R12/m (C2/m, 12)1; 4; 7; 10
 [3] R12/m (C2/m, 12)1; 5; 7; 11
 [3] R12/m (C2/m, 12)1; 6; 7; 12
IIa none
IIb[2] F-3c (a' = 2a, b' = 2b, c' = 2c) (R-3c, 167); [3] P-3m1 (a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c) (164)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[2] R-3m (a' = b + c, b' = a + c, c' = a + b) (166); [4] R-3m (a' = -a + b + c, b' = a - b + c, c' = a + b - c) (166)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[4] Pm-3m (221); [4] Pn-3m (224); [4] Fm-3m (225); [4] Fd-3m (227); [4] Im-3m (229)
II[3] P-31m (a' = 1/3(2a - b - c), b' = 1/3(-a + 2b - c), c' = 1/3(a + b + c)) (162)








































to end of page
to top of page