Pn-3 Th2 m-3 Cubic info
No. 201 P2/n-3 Patterson symmetry Pm-3
ORIGIN CHOICE 1

symmetry group diagram

Origin at 2 3, at -1/4, -1/4, -1/4 from centre (-3)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1/2; 0 ≤ z ≤ 1/2; y ≤ min(x, 1 - x); z ≤ y
Vertices
0, 0, 0  1, 0, 0  1/2, 1/2, 0  1/2, 1/2, 1/2  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  -1   1/4, 1/4, 1/4(14)  n(1/2, 1/2, 0)   x, y, 1/4(15)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 1/4, z(16)  n(0, 1/2, 1/2)   1/4, y, z
(17)  -3+   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(18)  -3+   -x - 1, x + 1, -x; -1/4, 1/4, 3/4(19)  -3+   x, -x + 1, -x; 1/4, 3/4, -1/4(20)  -3+   -x + 1, -x, x; 3/4, -1/4, 1/4
(21)  -3-   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(22)  -3-   x + 1, -x - 1, -x; 1/4, -1/4, 3/4(23)  -3-   -x, -x + 1, x; -1/4, 3/4, 1/4(24)  -3-   -x + 1, x, -x; 3/4, 1/4, -1/4

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (3); (5); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 h, k, l cyclically permutable
General:
24 h 1
(1) x, y, z(2) -x, -y, z(3) -x, y, -z(4) x, -y, -z
(5) z, x, y(6) z, -x, -y(7) -z, -x, y(8) -z, x, -y
(9) y, z, x(10) -y, z, -x(11) y, -z, -x(12) -y, -z, x
(13) -x + 1/2, -y + 1/2, -z + 1/2(14) x + 1/2, y + 1/2, -z + 1/2(15) x + 1/2, -y + 1/2, z + 1/2(16) -x + 1/2, y + 1/2, z + 1/2
(17) -z + 1/2, -x + 1/2, -y + 1/2(18) -z + 1/2, x + 1/2, y + 1/2(19) z + 1/2, x + 1/2, -y + 1/2(20) z + 1/2, -x + 1/2, y + 1/2
(21) -y + 1/2, -z + 1/2, -x + 1/2(22) y + 1/2, -z + 1/2, x + 1/2(23) -y + 1/2, z + 1/2, x + 1/2(24) y + 1/2, z + 1/2, -x + 1/2
0kl : k + l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
12 g  2 . . 
x, 1/2, 0 -x, 1/2, 0 0, x, 1/2 0, -x, 1/2 1/2, 0, x 1/2, 0, -x
-x + 1/2, 0, 1/2x + 1/2, 0, 1/2 1/2, -x + 1/2, 0 1/2, x + 1/2, 0 0, 1/2, -x + 1/2 0, 1/2, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
12 f  2 . . 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0 0, 0, x 0, 0, -x
-x + 1/2, 1/2, 1/2x + 1/2, 1/2, 1/2 1/2, -x + 1/2, 1/2 1/2, x + 1/2, 1/2 1/2, 1/2, -x + 1/2 1/2, 1/2, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
8 e  . 3 . 
x, x, x -x, -x, x
-x, x, -xx, -x, -x
-x + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2x + 1/2, x + 1/2, -x + 1/2
x + 1/2, -x + 1/2, x + 1/2 -x + 1/2, x + 1/2, x + 1/2
no extra conditions
6 d  2 2 2 . . 
0, 1/2, 1/2 1/2, 0, 1/2 1/2, 1/2, 0 1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 0, 0, 1/2
hkl : h + k + l = 2n
4 c  . -3 . 
3/4, 3/4, 3/4 1/4, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, 1/4
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
4 b  . -3 . 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 3/4
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
2 a  2 3 . 
0, 0, 0 1/2, 1/2, 1/2
hkl : h + k + l = 2n

Symmetry of special projections

Along [001]   c2mm
a' = a   b' = b   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p6
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   p2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 1/4

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] P23 (195)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
  [3] Pn1 (Pnnn, 48)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16
 [brace][4] P1-3 (R-3, 148)1; 5; 9; 13; 17; 21
 [4] P1-3 (R-3, 148)1; 6; 12; 13; 18; 24
 [4] P1-3 (R-3, 148)1; 7; 10; 13; 19; 22
 [4] P1-3 (R-3, 148)1; 8; 11; 13; 20; 23
IIa none
IIb[2] Fd-3 (a' = 2a, b' = 2b, c' = 2c) (203)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Pn-3 (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (201)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] Pn-3n (222); [2] Pn-3m (224)
II[2] Im-3 (204); [4] Fm-3 (202)





Pn-3 Th2 m-3 Cubic info
No. 201 P2/n-3 Patterson symmetry Pm-3
ORIGIN CHOICE 2

symmetry group diagram

Origin at centre (-3), at 1/4, 1/4, 1/4 from 2 3

Asymmetric unit -1/4 ≤ x ≤ 3/4; -1/4 ≤ y ≤ 1/4; -1/4 ≤ z ≤ 1/4; y ≤ min(x, 1/2 - x); z ≤ y
Vertices
-1/4, -1/4, -1/4  3/4, -1/4, -1/4  1/4, 1/4, -1/4  1/4, 1/4, 1/4  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  2   1/4, 1/4, z(3)  2   1/4, y, 1/4(4)  2   x, 1/4, 1/4
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x + 1/2, -x(7)  3+   x + 1/2, -x, -x(8)  3+   -x + 1/2, -x + 1/2, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x + 1/2, -x, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x + 1/2, x(12)  3-   -x, x + 1/2, -x
(13)  -1   0, 0, 0(14)  n(1/2, 1/2, 0)   x, y, 0(15)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 0, z(16)  n(0, 1/2, 1/2)   0, y, z
(17)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(18)  -3+   -x - 1, x + 1/2, -x; -1/2, 0, 1/2(19)  -3+   x - 1/2, -x + 1, -x; 0, 1/2, -1/2(20)  -3+   -x + 1/2, -x - 1/2, x; 1/2, -1/2, 0
(21)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0(22)  -3-   x + 1/2, -x - 1, -x; 0, -1/2, 1/2(23)  -3-   -x - 1/2, -x + 1/2, x; -1/2, 1/2, 0(24)  -3-   -x + 1, x - 1/2, -x; 1/2, 0, -1/2

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (3); (5); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 h, k, l cyclically permutable
General:
24 h 1
(1) x, y, z(2) -x + 1/2, -y + 1/2, z(3) -x + 1/2, y, -z + 1/2(4) x, -y + 1/2, -z + 1/2
(5) z, x, y(6) z, -x + 1/2, -y + 1/2(7) -z + 1/2, -x + 1/2, y(8) -z + 1/2, x, -y + 1/2
(9) y, z, x(10) -y + 1/2, z, -x + 1/2(11) y, -z + 1/2, -x + 1/2(12) -y + 1/2, -z + 1/2, x
(13) -x, -y, -z(14) x + 1/2, y + 1/2, -z(15) x + 1/2, -y, z + 1/2(16) -x, y + 1/2, z + 1/2
(17) -z, -x, -y(18) -z, x + 1/2, y + 1/2(19) z + 1/2, x + 1/2, -y(20) z + 1/2, -x, y + 1/2
(21) -y, -z, -x(22) y + 1/2, -z, x + 1/2(23) -y, z + 1/2, x + 1/2(24) y + 1/2, z + 1/2, -x
0kl : k + l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
12 g  2 . . 
x, 3/4, 1/4 -x + 1/2, 3/4, 1/4 1/4, x, 3/4 1/4, -x + 1/2, 3/4 3/4, 1/4, x 3/4, 1/4, -x + 1/2
-x, 1/4, 3/4x + 1/2, 1/4, 3/4 3/4, -x, 1/4 3/4, x + 1/2, 1/4 1/4, 3/4, -x 1/4, 3/4, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
12 f  2 . . 
x, 1/4, 1/4 -x + 1/2, 1/4, 1/4 1/4, x, 1/4 1/4, -x + 1/2, 1/4 1/4, 1/4, x 1/4, 1/4, -x + 1/2
-x, 3/4, 3/4x + 1/2, 3/4, 3/4 3/4, -x, 3/4 3/4, x + 1/2, 3/4 3/4, 3/4, -x 3/4, 3/4, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
8 e  . 3 . 
x, x, x -x + 1/2, -x + 1/2, x -x + 1/2, x, -x + 1/2x, -x + 1/2, -x + 1/2
-x, -x, -xx + 1/2, x + 1/2, -xx + 1/2, -x, x + 1/2 -x, x + 1/2, x + 1/2
no extra conditions
6 d  2 2 2 . . 
1/4, 3/4, 3/4 3/4, 1/4, 3/4 3/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, 1/4 1/4, 3/4, 1/4 1/4, 1/4, 3/4
hkl : h + k + l = 2n
4 c  . -3 . 
1/2, 1/2, 1/2 0, 0, 1/2 0, 1/2, 0 1/2, 0, 0
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
4 b  . -3 . 
0, 0, 0 1/2, 1/2, 0 1/2, 0, 1/2 0, 1/2, 1/2
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
2 a  2 3 . 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 3/4
hkl : h + k + l = 2n

Symmetry of special projections

Along [001]   c2mm
a' = a   b' = b   
Origin at 1/4, 1/4, z		Along [111]   p6
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   p2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] P23 (195)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
  [3] Pn1 (Pnnn, 48)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16
 [brace][4] P1-3 (R-3, 148)1; 5; 9; 13; 17; 21
 [4] P1-3 (R-3, 148)1; 6; 12; 13; 18; 24
 [4] P1-3 (R-3, 148)1; 7; 10; 13; 19; 22
 [4] P1-3 (R-3, 148)1; 8; 11; 13; 20; 23
IIa none
IIb[2] Fd-3 (a' = 2a, b' = 2b, c' = 2c) (203)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Pn-3 (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (201)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] Pn-3n (222); [2] Pn-3m (224)
II[2] Im-3 (204); [4] Fm-3 (202)








































to end of page
to top of page