Pn-3m Oh4 m-3m Cubic info
No. 224 P42/n-32/m Patterson symmetry Pm-3m
ORIGIN CHOICE 1

symmetry group diagram

Origin at -4 3 m, at -1/4, -1/4, -1/4 from centre (-3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/2; -1/4 ≤ z ≤ 1/4; y ≤ x; max(x - 1/2, -y) ≤ z ≤ min(1/2 - x, y)
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/2, 1/2, 0  1/4, 1/4, 1/4  1/4, 1/4, -1/4  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x, 1/4(14)  2   x, -x + 1/2, 1/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   1/2, 0, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   0, 1/2, z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x, 1/2, 0(18)  2(0, 1/2, 1/2)   1/4, y, y(19)  2   1/4, y + 1/2, -y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/2
(21)  4+(0, 1/2, 0)   1/2, y, 0(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x, 1/4, x(23)  4-(0, 1/2, 0)   0, y, 1/2(24)  2   -x + 1/2, 1/4, x
(25)  -1   1/4, 1/4, 1/4(26)  n(1/2, 1/2, 0)   x, y, 1/4(27)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 1/4, z(28)  n(0, 1/2, 1/2)   1/4, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(30)  -3+   -x - 1, x + 1, -x; -1/4, 1/4, 3/4(31)  -3+   x, -x + 1, -x; 1/4, 3/4, -1/4(32)  -3+   -x + 1, -x, x; 3/4, -1/4, 1/4
(33)  -3-   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(34)  -3-   x + 1, -x - 1, -x; 1/4, -1/4, 3/4(35)  -3-   -x, -x + 1, x; -1/4, 3/4, 1/4(36)  -3-   -x + 1, x, -x; 3/4, 1/4, -1/4
(37)  m   x, -x, z(38)  m   x, x, z(39)  -4-   0, 0, z; 0, 0, 0(40)  -4+   0, 0, z; 0, 0, 0
(41)  -4-   x, 0, 0; 0, 0, 0(42)  m   x, y, -y(43)  m   x, y, y(44)  -4+   x, 0, 0; 0, 0, 0
(45)  -4+   0, y, 0; 0, 0, 0(46)  m   -x, y, x(47)  -4-   0, y, 0; 0, 0, 0(48)  m   x, y, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 h, k, l permutable
General:
48 l 1
(1) x, y, z(2) -x, -y, z(3) -x, y, -z(4) x, -y, -z
(5) z, x, y(6) z, -x, -y(7) -z, -x, y(8) -z, x, -y
(9) y, z, x(10) -y, z, -x(11) y, -z, -x(12) -y, -z, x
(13) y + 1/2, x + 1/2, -z + 1/2(14) -y + 1/2, -x + 1/2, -z + 1/2(15) y + 1/2, -x + 1/2, z + 1/2(16) -y + 1/2, x + 1/2, z + 1/2
(17) x + 1/2, z + 1/2, -y + 1/2(18) -x + 1/2, z + 1/2, y + 1/2(19) -x + 1/2, -z + 1/2, -y + 1/2(20) x + 1/2, -z + 1/2, y + 1/2
(21) z + 1/2, y + 1/2, -x + 1/2(22) z + 1/2, -y + 1/2, x + 1/2(23) -z + 1/2, y + 1/2, x + 1/2(24) -z + 1/2, -y + 1/2, -x + 1/2
(25) -x + 1/2, -y + 1/2, -z + 1/2(26) x + 1/2, y + 1/2, -z + 1/2(27) x + 1/2, -y + 1/2, z + 1/2(28) -x + 1/2, y + 1/2, z + 1/2
(29) -z + 1/2, -x + 1/2, -y + 1/2(30) -z + 1/2, x + 1/2, y + 1/2(31) z + 1/2, x + 1/2, -y + 1/2(32) z + 1/2, -x + 1/2, y + 1/2
(33) -y + 1/2, -z + 1/2, -x + 1/2(34) y + 1/2, -z + 1/2, x + 1/2(35) -y + 1/2, z + 1/2, x + 1/2(36) y + 1/2, z + 1/2, -x + 1/2
(37) -y, -x, z(38) y, x, z(39) -y, x, -z(40) y, -x, -z
(41) -x, -z, y(42) x, -z, -y(43) x, z, y(44) -x, z, -y
(45) -z, -y, x(46) -z, y, -x(47) z, -y, -x(48) z, y, x
0kl : k + l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
24 k  . . m 
x, x, z -x, -x, z -x, x, -zx, -x, -z
z, x, xz, -x, -x -z, -x, x -z, x, -x
x, z, x -x, z, -xx, -z, -x -x, -z, x
x + 1/2, x + 1/2, -z + 1/2 -x + 1/2, -x + 1/2, -z + 1/2x + 1/2, -x + 1/2, z + 1/2 -x + 1/2, x + 1/2, z + 1/2
x + 1/2, z + 1/2, -x + 1/2 -x + 1/2, z + 1/2, x + 1/2 -x + 1/2, -z + 1/2, -x + 1/2x + 1/2, -z + 1/2, x + 1/2
z + 1/2, x + 1/2, -x + 1/2z + 1/2, -x + 1/2, x + 1/2 -z + 1/2, x + 1/2, x + 1/2 -z + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2
no extra conditions
24 j  . . 2 
1/4, y, y + 1/2 3/4, -y, y + 1/2 3/4, y, -y + 1/2 1/4, -y, -y + 1/2y + 1/2, 1/4, yy + 1/2, 3/4, -y
-y + 1/2, 3/4, y -y + 1/2, 1/4, -yy, y + 1/2, 1/4 -y, y + 1/2, 3/4y, -y + 1/2, 3/4 -y, -y + 1/2, 1/4
1/4, -y + 1/2, -y 3/4, y + 1/2, -y 3/4, -y + 1/2, y 1/4, y + 1/2, y -y, 1/4, -y + 1/2 -y, 3/4, y + 1/2
y, 3/4, -y + 1/2y, 1/4, y + 1/2 -y + 1/2, -y, 1/4y + 1/2, -y, 3/4 -y + 1/2, y, 3/4y + 1/2, y, 1/4
no extra conditions
24 i  . . 2 
1/4, y, -y + 1/2 3/4, -y, -y + 1/2 3/4, y, y + 1/2 1/4, -y, y + 1/2 -y + 1/2, 1/4, y -y + 1/2, 3/4, -y
y + 1/2, 3/4, yy + 1/2, 1/4, -yy, -y + 1/2, 1/4 -y, -y + 1/2, 3/4y, y + 1/2, 3/4 -y, y + 1/2, 1/4
1/4, -y + 1/2, y 3/4, y + 1/2, y 3/4, -y + 1/2, -y 1/4, y + 1/2, -yy, 1/4, -y + 1/2y, 3/4, y + 1/2
-y, 3/4, -y + 1/2 -y, 1/4, y + 1/2 -y + 1/2, y, 1/4y + 1/2, y, 3/4 -y + 1/2, -y, 3/4y + 1/2, -y, 1/4
no extra conditions
24 h  2 . . 
x, 0, 1/2 -x, 0, 1/2 1/2, x, 0 1/2, -x, 0 0, 1/2, x 0, 1/2, -x
1/2, x + 1/2, 0 1/2, -x + 1/2, 0x + 1/2, 0, 1/2 -x + 1/2, 0, 1/2 0, 1/2, -x + 1/2 0, 1/2, x + 1/2
-x + 1/2, 1/2, 0x + 1/2, 1/2, 0 0, -x + 1/2, 1/2 0, x + 1/2, 1/2 1/2, 0, -x + 1/2 1/2, 0, x + 1/2
0, -x, 1/2 0, x, 1/2 -x, 1/2, 0x, 1/2, 0 1/2, 0, x 1/2, 0, -x
hkl : h + k + l = 2n
12 g  2 . m m 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0 0, 0, x 0, 0, -x
1/2, x + 1/2, 1/2 1/2, -x + 1/2, 1/2x + 1/2, 1/2, 1/2 -x + 1/2, 1/2, 1/2 1/2, 1/2, -x + 1/2 1/2, 1/2, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
12 f  2 . 2 2 
1/4, 0, 1/2 3/4, 0, 1/2 1/2, 1/4, 0 1/2, 3/4, 0 0, 1/2, 1/4 0, 1/2, 3/4
1/4, 1/2, 0 3/4, 1/2, 0 0, 1/4, 1/2 0, 3/4, 1/2 1/2, 0, 1/4 1/2, 0, 3/4
hkl : h + k + l = 2n
8 e  . 3 m 
x, x, x -x, -x, x -x, x, -xx, -x, -x
x + 1/2, x + 1/2, -x + 1/2 -x + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2x + 1/2, -x + 1/2, x + 1/2 -x + 1/2, x + 1/2, x + 1/2
no extra conditions
6 d  -4 2 . m 
0, 1/2, 1/2 1/2, 0, 1/2 1/2, 1/2, 0 0, 1/2, 0 1/2, 0, 0 0, 0, 1/2
hkl : h + k + l = 2n
4 c  . -3 m 
3/4, 3/4, 3/4 1/4, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, 1/4
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
4 b  . -3 m 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 3/4
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
2 a  -4 3 m 
0, 0, 0 1/2, 1/2, 1/2
hkl : h + k + l = 2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2(a - b)   b' = 1/2(a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   p2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 1/4

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] P-43m (215)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48
  [2] P4232 (208)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24
  [2] Pn-31 (Pn-3, 201)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36
 [brace][3] P42/n12/m (P42/nnm, 134)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40
 [3] P42/n12/m (P42/nnm, 134)1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44
 [3] P42/n12/m (P42/nnm, 134)1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48
 [brace][4] P1-32/m (R-3m, 166)1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48
 [4] P1-32/m (R-3m, 166)1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48
 [4] P1-32/m (R-3m, 166)1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46
 [4] P1-32/m (R-3m, 166)1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46
IIa none
IIb[2] Fd-3c (a' = 2a, b' = 2b, c' = 2c) (228); [2] Fd-3m (a' = 2a, b' = 2b, c' = 2c) (227)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Pn-3m (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (224)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
II[2] Im-3m (229); [4] Fm-3m (225)








































to end of page
to top of page