R-3c D3d6 -3m Trigonal info
No. 167 R-32/c Patterson symmetry R-3m
HEXAGONAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3) at -3 c

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 2/3; 0 ≤ z ≤ 1/12; x ≤ (1 + y)/2; y ≤ min(1 - x, (1 + x)/2)
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  2/3, 1/3, 0  1/3, 2/3, 0  0, 1/2, 0  
0, 0, 1/12  1/2, 0, 1/12  2/3, 1/3, 1/12  1/3, 2/3, 1/12  0, 1/2, 1/12  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  3+   0, 0, z(3)  3-   0, 0, z
(4)  2   x, x, 1/4(5)  2   x, 0, 1/4(6)  2   0, y, 1/4
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   0, 0, z; 0, 0, 0(9)  -3-   0, 0, z; 0, 0, 0
(10)  c   x, -x, z(11)  c   x, 2x, z(12)  c   2x, x, z

For (2/3, 1/3, 1/3)+ set

(1)  t(2/3, 1/3, 1/3)   (2)  3+(0, 0, 1/3)   1/3, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 1/3)   1/3, 0, z
(4)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x - 1/6, 5/12(5)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/6, 5/12(6)  2   1/3, y, 5/12
(7)  -1   1/3, 1/6, 1/6(8)  -3+   1/3, -1/3, z; 1/3, -1/3, 1/6(9)  -3-   1/3, 2/3, z; 1/3, 2/3, 1/6
(10)  g(1/6, -1/6, 5/6)   x + 1/2, -x, z(11)  g(1/6, 1/3, 5/6)   x + 1/4, 2x, z(12)  g(2/3, 1/3, 5/6)   2x, x, z

For (1/3, 2/3, 2/3)+ set

(1)  t(1/3, 2/3, 2/3)   (2)  3+(0, 0, 2/3)   0, 1/3, z(3)  3-(0, 0, 2/3)   1/3, 1/3, z
(4)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x + 1/6, 1/12(5)  2   x, 1/3, 1/12(6)  2(0, 1/2, 0)   1/6, y, 1/12
(7)  -1   1/6, 1/3, 1/3(8)  -3+   2/3, 1/3, z; 2/3, 1/3, 1/3(9)  -3-   -1/3, 1/3, z; -1/3, 1/3, 1/3
(10)  g(-1/6, 1/6, 1/6)   x + 1/2, -x, z(11)  g(1/3, 2/3, 1/6)   x, 2x, z(12)  g(1/3, 1/6, 1/6)   2x - 1/2, x, z

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/3, 1/3, 1/3); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (2/3, 1/3, 1/3)+  (1/3, 2/3, 2/3)+  General:
36 f 1
(1) x, y, z(2) -y, x - y, z(3) -x + y, -x, z
(4) y, x, -z + 1/2(5) x - y, -y, -z + 1/2(6) -x, -x + y, -z + 1/2
(7) -x, -y, -z(8) y, -x + y, -z(9) x - y, x, -z
(10) -y, -x, z + 1/2(11) -x + y, y, z + 1/2(12) x, x - y, z + 1/2
hkil :  -h + k + l = 3n
hki0 :  -h + k = 3n
hh(-2h)l : l = 3n
h-h0l : h + l = 3n,  l = 2n
000l : l = 6n
h-h00 : h = 3n
    Special: as above, plus
18 e  . 2 
x, 0, 1/4 0, x, 1/4 -x, -x, 1/4 -x, 0, 3/4 0, -x, 3/4x, x, 3/4
no extra conditions
18 d  -1 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 1/2, 1/2, 0 0, 1/2, 1/2 1/2, 0, 1/2 1/2, 1/2, 1/2
hkil : l = 2n
12 c  3 . 
0, 0, z 0, 0, -z + 1/2 0, 0, -z 0, 0, z + 1/2
hkil : l = 2n
6 b  -3 . 
0, 0, 0 0, 0, 1/2
hkil : l = 2n
6 a  3 2 
0, 0, 1/4 0, 0, 3/4
hkil : l = 2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p6mm
a' = 1/3(2a + b)   b' = 1/3(-a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [100]   p2
a' = 1/6(2a + 4b + c)   b' = 1/6(-a - 2b + c)   
Origin at x, 0, 0		Along [210]   p2gm
a' = 1/2b   b' = 1/3c   
Origin at x, 1/2x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R3c (161)(1; 2; 3; 10; 11; 12)+
  [2] R32 (155)(1; 2; 3; 4; 5; 6)+
  [2] R-31 (R-3, 148)(1; 2; 3; 7; 8; 9)+
 [brace][3] R12/c (C2/c, 15)(1; 4; 7; 10)+
 [3] R12/c (C2/c, 15)(1; 5; 7; 11)+
 [3] R12/c (C2/c, 15)(1; 6; 7; 12)+
IIabrace[3] P-3c1 (165)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
 [3] P-3c1 (165)1; 2; 3; 10; 11; 12; (4; 5; 6; 7; 8; 9) + (2/3, 1/3, 1/3)
 [3] P-3c1 (165)1; 2; 3; 10; 11; 12; (4; 5; 6; 7; 8; 9) + (1/3, 2/3, 2/3)
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[4] R-3c (a' = -2a, b' = -2b) (167); [5] R-3c (a' = -a, b' = -b, c' = 5c) (167)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[4] Pn-3n (222); [4] Pm-3n (223); [4] Fm-3c (226); [4] Fd-3c (228); [4] Ia-3d (230)
II[2] R-3m (a' = -a, b' = -b, c' = 1/2c) (166); [3] P-31c (a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c) (163)





R-3c D3d6 -3m Trigonal info
No. 167 R-32/c Patterson symmetry R-3m
RHOMBOHEDRAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3) at -3c

Asymmetric unit 1/4 ≤ x ≤ 5/4; 1/4 ≤ y ≤ 5/4; 1/4 ≤ z ≤ 3/4; y ≤ x; z ≤ min (y, 3/2 - x)
Vertices
1/4, 1/4, 1/4  5/4, 1/4, 1/4  5/4, 5/4, 1/4  3/4, 3/4, 3/4  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  3+   x, x, x(3)  3-   x, x, x
(4)  2   -x + 1/2, 1/4, x(5)  2   x, -x + 1/2, 1/4(6)  2   1/4, y + 1/2, -y
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(9)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0
(10)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, x(11)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, z(12)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, y

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 General:
12 f 1
(1) x, y, z(2) z, x, y(3) y, z, x
(4) -z + 1/2, -y + 1/2, -x + 1/2(5) -y + 1/2, -x + 1/2, -z + 1/2(6) -x + 1/2, -z + 1/2, -y + 1/2
(7) -x, -y, -z(8) -z, -x, -y(9) -y, -z, -x
(10) z + 1/2, y + 1/2, x + 1/2(11) y + 1/2, x + 1/2, z + 1/2(12) x + 1/2, z + 1/2, y + 1/2
hhl : l = 2n
hhh : h = 2n
    Special: as above, plus
6 e  . 2 
x, -x + 1/2, 1/4 1/4, x, -x + 1/2 -x + 1/2, 1/4, x
-x, x + 1/2, 3/4 3/4, -x, x + 1/2x + 1/2, 3/4, -x
no extra conditions
6 d  -1 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 0, 0, 1/2 1/2, 1/2, 0 1/2, 0, 1/2 0, 1/2, 1/2
hkl : h + k + l = 2n
4 c  3 . 
x, x, x -x + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2 -x, -x, -xx + 1/2, x + 1/2, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
2 b  -3 . 
0, 0, 0 1/2, 1/2, 1/2
hkl : h + k + l = 2n
2 a  3 2 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 3/4
hkl : h + k + l = 2n

Symmetry of special projections

Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [1-10]   p2
a' = 1/2(a + b - 2c)   b' = 1/2c   
Origin at x, -x, 0		Along [2-1-1]   p2gm
a' = 1/2(b - c)   b' = 1/3(a + b + c)   
Origin at 2x, -x, -x

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] R3c (161)1; 2; 3; 10; 11; 12
  [2] R32 (155)1; 2; 3; 4; 5; 6
  [2] R-31 (R-3, 148)1; 2; 3; 7; 8; 9
 [brace][3] R12/c (C2/c, 15)1; 4; 7; 10
 [3] R12/c (C2/c, 15)1; 5; 7; 11
 [3] R12/c (C2/c, 15)1; 6; 7; 12
IIa none
IIb[3] P-3c1 (a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c) (165)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[4] R-3c (a' = -a + b + c, b' = a - b + c, c' = a + b - c) (167); [5] R-3c (a' = a + 2b + 2c, b' = 2a + b + 2c, c' = 2a + 2b + c) (167)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[4] Pn-3n (222); [4] Pm-3n (223); [4] Fm-3c (226); [4] Fd-3c (228); [4] Ia-3d (230)
II[2] R-3m (a' = 1/2(-a + b + c), b' = 1/2(a - b + c), c' = 1/2(a + b - c)) (166); [3] P-31c (a' = 1/3(2a - b - c), b' = 1/3(-a + 2b - c), c' = 1/3(a + b + c)) (163)








































to end of page
to top of page