P6/mmm D6h1 6/mmm Hexagonal info
No. 191 P6/m2/m2/m Patterson symmetry P6/mmm

symmetry group diagram

Origin at centre (6/m m m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 1/3; 0 ≤ z ≤ 1/2; x ≤ (1 + y)/2; y ≤ x/2
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  2/3, 1/3, 0  
0, 0, 1/2  1/2, 0, 1/2  2/3, 1/3, 1/2  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  3+   0, 0, z(3)  3-   0, 0, z
(4)  2   0, 0, z(5)  6-   0, 0, z(6)  6+   0, 0, z
(7)  2   x, x, 0(8)  2   x, 0, 0(9)  2   0, y, 0
(10)  2   x, -x, 0(11)  2   x, 2x, 0(12)  2   2x, x, 0
(13)  -1   0, 0, 0(14)  -3+   0, 0, z; 0, 0, 0(15)  -3-   0, 0, z; 0, 0, 0
(16)  m   x, y, 0(17)  -6-   0, 0, z; 0, 0, 0(18)  -6+   0, 0, z; 0, 0, 0
(19)  m   x, -x, z(20)  m   x, 2x, z(21)  m   2x, x, z
(22)  m   x, x, z(23)  m   x, 0, z(24)  m   0, y, z

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4); (7); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 General:
24 r 1
(1) x, y, z(2) -y, x - y, z(3) -x + y, -x, z
(4) -x, -y, z(5) y, -x + y, z(6) x - y, x, z
(7) y, x, -z(8) x - y, -y, -z(9) -x, -x + y, -z
(10) -y, -x, -z(11) -x + y, y, -z(12) x, x - y, -z
(13) -x, -y, -z(14) y, -x + y, -z(15) x - y, x, -z
(16) x, y, -z(17) -y, x - y, -z(18) -x + y, -x, -z
(19) -y, -x, z(20) -x + y, y, z(21) x, x - y, z
(22) y, x, z(23) x - y, -y, z(24) -x, -x + y, z
no conditions
    Special: as above, plus
12 q  m . . 
x, y, 1/2 -y, x - y, 1/2 -x + y, -x, 1/2 -x, -y, 1/2y, -x + y, 1/2x - y, x, 1/2
y, x, 1/2x - y, -y, 1/2 -x, -x + y, 1/2 -y, -x, 1/2 -x + y, y, 1/2x, x - y, 1/2
no extra conditions
12 p  m . . 
x, y, 0 -y, x - y, 0 -x + y, -x, 0 -x, -y, 0y, -x + y, 0x - y, x, 0
y, x, 0x - y, -y, 0 -x, -x + y, 0 -y, -x, 0 -x + y, y, 0x, x - y, 0
no extra conditions
12 o  . m . 
x, 2x, z (-2x), -x, zx, -x, z -x, (-2x), z 2x, x, z -x, x, z
2x, x, -z -x, (-2x), -z -x, x, -z (-2x), -x, -zx, 2x, -zx, -x, -z
no extra conditions
12 n  . . m 
x, 0, z 0, x, z -x, -x, z -x, 0, z 0, -x, zx, x, z
0, x, -zx, 0, -z -x, -x, -z 0, -x, -z -x, 0, -zx, x, -z
no extra conditions
6 m  m m 2 
x, 2x, 1/2 (-2x), -x, 1/2x, -x, 1/2 -x, (-2x), 1/2 2x, x, 1/2 -x, x, 1/2
no extra conditions
6 l  m m 2 
x, 2x, 0 (-2x), -x, 0x, -x, 0 -x, (-2x), 0 2x, x, 0 -x, x, 0
no extra conditions
6 k  m 2 m 
x, 0, 1/2 0, x, 1/2 -x, -x, 1/2 -x, 0, 1/2 0, -x, 1/2x, x, 1/2
no extra conditions
6 j  m 2 m 
x, 0, 0 0, x, 0 -x, -x, 0 -x, 0, 0 0, -x, 0x, x, 0
no extra conditions
6 i  2 m m 
1/2, 0, z 0, 1/2, z 1/2, 1/2, z 0, 1/2, -z 1/2, 0, -z 1/2, 1/2, -z
no extra conditions
4 h  3 m . 
1/3, 2/3, z 2/3, 1/3, z 2/3, 1/3, -z 1/3, 2/3, -z
no extra conditions
3 g  m m m 
1/2, 0, 1/2 0, 1/2, 1/2 1/2, 1/2, 1/2
no extra conditions
3 f  m m m 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 1/2, 1/2, 0
no extra conditions
2 e  6 m m 
0, 0, z 0, 0, -z
no extra conditions
2 d  -6 m 2 
1/3, 2/3, 1/2 2/3, 1/3, 1/2
no extra conditions
2 c  -6 m 2 
1/3, 2/3, 0 2/3, 1/3, 0
no extra conditions
1 b  6/m m m 
0, 0, 1/2
no extra conditions
1 a  6/m m m 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [001]   p6mm
a' = a   b' = b   
Origin at 0, 0, z		Along [100]   p2mm
a' = 1/2(a + 2b)   b' = c   
Origin at x, 0, 0		Along [210]   p2mm
a' = 1/2b   b' = c   
Origin at x, 1/2x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] P-62m (189)1; 2; 3; 7; 8; 9; 16; 17; 18; 22; 23; 24
  [2] P-6m2 (187)1; 2; 3; 10; 11; 12; 16; 17; 18; 19; 20; 21
  [2] P6mm (183)1; 2; 3; 4; 5; 6; 19; 20; 21; 22; 23; 24
  [2] P622 (177)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
  [2] P6/m11 (P6/m, 175)1; 2; 3; 4; 5; 6; 13; 14; 15; 16; 17; 18
  [2] P-3m1 (164)1; 2; 3; 7; 8; 9; 13; 14; 15; 19; 20; 21
  [2] P-31m (162)1; 2; 3; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 22; 23; 24
 [brace][3] Pmmm (Cmmm, 65)1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22
 [3] Pmmm (Cmmm, 65)1; 4; 8; 11; 13; 16; 20; 23
 [3] Pmmm (Cmmm, 65)1; 4; 9; 12; 13; 16; 21; 24
IIa none
IIb[2] P63/mmc (c' = 2c) (194); [2] P63/mcm (c' = 2c) (193); [2] P6/mcc (c' = 2c) (192)

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[2] P6/mmm (c' = 2c) (191); [3] H6/mmm (a' = 3a, b' = 3b) (P6/mmm, 191)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
IInone








































to end of page
to top of page