F432 O3 432 Cubic info
No. 209 F432 Patterson symmetry Fm-3m

symmetry group diagram

Origin at 4 3 2

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/4; -1/4 ≤ z ≤ 1/4; y ≤ min(x, 1/2 - x); -y ≤ z ≤ y
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/4, 1/4, 1/4  1/4, 1/4, -1/4  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  2   x, x, 0(14)  2   x, -x, 0(15)  4-   0, 0, z(16)  4+   0, 0, z
(17)  4-   x, 0, 0(18)  2   0, y, y(19)  2   0, y, -y(20)  4+   x, 0, 0
(21)  4+   0, y, 0(22)  2   x, 0, x(23)  4-   0, y, 0(24)  2   -x, 0, x

For (0, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(0, 1/2, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   0, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   0, y, 1/4(4)  2   x, 1/4, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/3, x - 1/6, x(6)  3+   -x, x + 1/2, -x(7)  3+(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, -x - 1/6, -x(8)  3+   -x, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x + 1/6, x(10)  3-(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, -x + 1/6, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x + 1/2, x(12)  3-   -x - 1/2, x + 1/2, -x
(13)  2(1/4, 1/4, 0)   x, x + 1/4, 1/4(14)  2(-1/4, 1/4, 0)   x, -x + 1/4, 1/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   1/4, 1/4, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   -1/4, 1/4, z
(17)  4-   x, 1/2, 0(18)  2(0, 1/2, 1/2)   0, y, y(19)  2   0, y + 1/2, -y(20)  4+   x, 0, 1/2
(21)  4+(0, 1/2, 0)   1/4, y, 1/4(22)  2(1/4, 0, 1/4)   x - 1/4, 1/4, x(23)  4-(0, 1/2, 0)   -1/4, y, 1/4(24)  2(-1/4, 0, 1/4)   -x + 1/4, 1/4, x

For (1/2, 0, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 0, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/4, 0, z(3)  2   1/4, y, 1/4(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x - 1/6, x(6)  3+(1/3, -1/3, 1/3)   -x + 1/6, x + 1/6, -x(7)  3+   x + 1/2, -x - 1/2, -x(8)  3+   -x + 1/2, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x - 1/3, x(10)  3-   x + 1/2, -x, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x, x(12)  3-(1/3, -1/3, 1/3)   -x - 1/6, x + 1/3, -x
(13)  2(1/4, 1/4, 0)   x, x - 1/4, 1/4(14)  2(1/4, -1/4, 0)   x, -x + 1/4, 1/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   1/4, -1/4, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   1/4, 1/4, z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 1/4(18)  2(0, 1/4, 1/4)   1/4, y - 1/4, y(19)  2(0, -1/4, 1/4)   1/4, y + 1/4, -y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, -1/4, 1/4
(21)  4+   1/2, y, 0(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x, 0, x(23)  4-   0, y, 1/2(24)  2   -x + 1/2, 0, x

For (1/2, 1/2, 0)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 0)   (2)  2   1/4, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/4, y, 0(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 0
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x + 1/3, x(6)  3+   -x + 1/2, x, -x(7)  3+   x + 1/2, -x, -x(8)  3+(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/6, -x + 1/3, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, x + 1/6, x(10)  3-   x, -x + 1/2, -x(11)  3-(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/3, -x + 1/6, x(12)  3-   -x, x + 1/2, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x, 0(14)  2   x, -x + 1/2, 0(15)  4-   1/2, 0, z(16)  4+   0, 1/2, z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x, 1/4, -1/4(18)  2(0, 1/4, 1/4)   1/4, y + 1/4, y(19)  2(0, 1/4, -1/4)   1/4, y + 1/4, -y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 1/4
(21)  4+(0, 1/2, 0)   1/4, y, -1/4(22)  2(1/4, 0, 1/4)   x + 1/4, 1/4, x(23)  4-(0, 1/2, 0)   1/4, y, 1/4(24)  2(1/4, 0, -1/4)   -x + 1/4, 1/4, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(0, 1/2, 1/2); t(1/2, 0, 1/2); (2); (3); (5); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (0, 1/2, 1/2)+  (1/2, 0, 1/2)+  (1/2, 1/2, 0)+  h, k, l permutable
General:
96 j 1
(1) x, y, z(2) -x, -y, z(3) -x, y, -z(4) x, -y, -z
(5) z, x, y(6) z, -x, -y(7) -z, -x, y(8) -z, x, -y
(9) y, z, x(10) -y, z, -x(11) y, -z, -x(12) -y, -z, x
(13) y, x, -z(14) -y, -x, -z(15) y, -x, z(16) -y, x, z
(17) x, z, -y(18) -x, z, y(19) -x, -z, -y(20) x, -z, y
(21) z, y, -x(22) z, -y, x(23) -z, y, x(24) -z, -y, -x
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
0kl : k, l = 2n
hhl : h + l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
48 i  2 . . 
x, 1/4, 1/4 -x, 3/4, 1/4 1/4, x, 1/4 1/4, -x, 3/4 1/4, 1/4, x 3/4, 1/4, -x
1/4, x, 3/4 3/4, -x, 3/4x, 1/4, 3/4 -x, 1/4, 1/4 1/4, 1/4, -x 1/4, 3/4, x
hkl : h = 2n
48 h  . . 2 
1/2, y, y 1/2, -y, y 1/2, y, -y 1/2, -y, -yy, 1/2, yy, 1/2, -y
-y, 1/2, y -y, 1/2, -yy, y, 1/2 -y, y, 1/2y, -y, 1/2 -y, -y, 1/2
no extra conditions
48 g  . . 2 
0, y, y 0, -y, y 0, y, -y 0, -y, -yy, 0, yy, 0, -y
-y, 0, y -y, 0, -yy, y, 0 -y, y, 0y, -y, 0 -y, -y, 0
no extra conditions
32 f  . 3 . 
x, x, x -x, -x, x -x, x, -xx, -x, -x
x, x, -x -x, -x, -xx, -x, x -x, x, x
no extra conditions
24 e  4 . . 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0 0, 0, x 0, 0, -x
no extra conditions
24 d  2 . 2 2 
0, 1/4, 1/4 0, 3/4, 1/4 1/4, 0, 1/4 1/4, 0, 3/4 1/4, 1/4, 0 3/4, 1/4, 0
hkl : h = 2n
8 c  2 3 . 
1/4, 1/4, 1/4 1/4, 1/4, 3/4
hkl : h = 2n
4 b  4 3 2 
1/2, 1/2, 1/2
no extra conditions
4 a  4 3 2 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2a   b' = 1/2b   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p3m1
a' = 1/6(2a - b - c)   b' = 1/6(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   c2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] F231 (F23, 196)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12)+
 [brace][3] F412 (I422, 97)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16)+
 [3] F412 (I422, 97)(1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20)+
 [3] F412 (I422, 97)(1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24)+
 [brace][4] F132 (R32, 155)(1; 5; 9; 14; 19; 24)+
 [4] F132 (R32, 155)(1; 6; 12; 13; 18; 24)+
 [4] F132 (R32, 155)(1; 7; 10; 13; 19; 22)+
 [4] F132 (R32, 155)(1; 8; 11; 14; 18; 22)+
IIabrace[4] P4232 (208)1; 5; 9; 14; 19; 24; (4; 6; 11; 16; 18; 23) + (0, 1/2, 1/2); (3; 8; 10; 15; 20; 22) + (1/2, 0, 1/2); (2; 7; 12; 13; 17; 21) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] P4232 (208)1; 6; 12; 13; 18; 24; (4; 5; 10; 15; 19; 23) + (0, 1/2, 1/2); (3; 7; 11; 16; 17; 22) + (1/2, 0, 1/2); (2; 8; 9; 14; 20; 21) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] P4232 (208)1; 7; 10; 13; 19; 22; (4; 8; 12; 15; 18; 21) + (0, 1/2, 1/2); (3; 6; 9; 16; 20; 24) + (1/2, 0, 1/2); (2; 5; 11; 14; 17; 23) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] P4232 (208)1; 8; 11; 14; 18; 22; (4; 7; 9; 16; 19; 21) + (0, 1/2, 1/2); (3; 5; 12; 15; 17; 24) + (1/2, 0, 1/2); (2; 6; 10; 13; 20; 23) + (1/2, 1/2, 0)
 brace[4] P432 (207)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24
 [4] P432 (207)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; (9; 10; 11; 12; 17; 18; 19; 20) + (0, 1/2, 1/2); (5; 6; 7; 8; 21; 22; 23; 24) + (1/2, 0, 1/2)
 [4] P432 (207)1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; (9; 10; 11; 12; 21; 22; 23; 24) + (1/2, 0, 1/2); (5; 6; 7; 8; 13; 14; 15; 16) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] P432 (207)1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; (5; 6; 7; 8; 17; 18; 19; 20) + (0, 1/2, 1/2); (9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16) + (1/2, 1/2, 0)
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] F432 (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (209)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] Fm-3m (225); [2] Fm-3c (226)
II[2] P432 (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (207)








































to end of page
to top of page