Pn-3n Oh2 m-3m Cubic info
No. 222 P4/n-32/n Patterson symmetry Pm-3m
ORIGIN CHOICE 1

symmetry group diagram

Origin at 4 3 2, at -1/4, -1/4, -1/4 from centre (-3)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/2; 0 ≤ z ≤ 1/2; y ≤ x; z ≤ y
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/2, 1/2, 0  1/2, 1/2, 1/2  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  2   x, x, 0(14)  2   x, -x, 0(15)  4-   0, 0, z(16)  4+   0, 0, z
(17)  4-   x, 0, 0(18)  2   0, y, y(19)  2   0, y, -y(20)  4+   x, 0, 0
(21)  4+   0, y, 0(22)  2   x, 0, x(23)  4-   0, y, 0(24)  2   -x, 0, x
(25)  -1   1/4, 1/4, 1/4(26)  n(1/2, 1/2, 0)   x, y, 1/4(27)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 1/4, z(28)  n(0, 1/2, 1/2)   1/4, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(30)  -3+   -x - 1, x + 1, -x; -1/4, 1/4, 3/4(31)  -3+   x, -x + 1, -x; 1/4, 3/4, -1/4(32)  -3+   -x + 1, -x, x; 3/4, -1/4, 1/4
(33)  -3-   x, x, x; 1/4, 1/4, 1/4(34)  -3-   x + 1, -x - 1, -x; 1/4, -1/4, 3/4(35)  -3-   -x, -x + 1, x; -1/4, 3/4, 1/4(36)  -3-   -x + 1, x, -x; 3/4, 1/4, -1/4
(37)  c   x + 1/2, -x, z(38)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, z(39)  -4-   0, 1/2, z; 0, 1/2, 1/4(40)  -4+   1/2, 0, z; 1/2, 0, 1/4
(41)  -4-   x, 0, 1/2; 1/4, 0, 1/2(42)  a   x, y + 1/2, -y(43)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, y(44)  -4+   x, 1/2, 0; 1/4, 1/2, 0
(45)  -4+   0, y, 1/2; 0, 1/4, 1/2(46)  b   -x + 1/2, y, x(47)  -4-   1/2, y, 0; 1/2, 1/4, 0(48)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 h, k, l permutable
General:
48 i 1
(1) x, y, z(2) -x, -y, z(3) -x, y, -z(4) x, -y, -z
(5) z, x, y(6) z, -x, -y(7) -z, -x, y(8) -z, x, -y
(9) y, z, x(10) -y, z, -x(11) y, -z, -x(12) -y, -z, x
(13) y, x, -z(14) -y, -x, -z(15) y, -x, z(16) -y, x, z
(17) x, z, -y(18) -x, z, y(19) -x, -z, -y(20) x, -z, y
(21) z, y, -x(22) z, -y, x(23) -z, y, x(24) -z, -y, -x
(25) -x + 1/2, -y + 1/2, -z + 1/2(26) x + 1/2, y + 1/2, -z + 1/2(27) x + 1/2, -y + 1/2, z + 1/2(28) -x + 1/2, y + 1/2, z + 1/2
(29) -z + 1/2, -x + 1/2, -y + 1/2(30) -z + 1/2, x + 1/2, y + 1/2(31) z + 1/2, x + 1/2, -y + 1/2(32) z + 1/2, -x + 1/2, y + 1/2
(33) -y + 1/2, -z + 1/2, -x + 1/2(34) y + 1/2, -z + 1/2, x + 1/2(35) -y + 1/2, z + 1/2, x + 1/2(36) y + 1/2, z + 1/2, -x + 1/2
(37) -y + 1/2, -x + 1/2, z + 1/2(38) y + 1/2, x + 1/2, z + 1/2(39) -y + 1/2, x + 1/2, -z + 1/2(40) y + 1/2, -x + 1/2, -z + 1/2
(41) -x + 1/2, -z + 1/2, y + 1/2(42) x + 1/2, -z + 1/2, -y + 1/2(43) x + 1/2, z + 1/2, y + 1/2(44) -x + 1/2, z + 1/2, -y + 1/2
(45) -z + 1/2, -y + 1/2, x + 1/2(46) -z + 1/2, y + 1/2, -x + 1/2(47) z + 1/2, -y + 1/2, -x + 1/2(48) z + 1/2, y + 1/2, x + 1/2
0kl : k + l = 2n
hhl : l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
24 h  . . 2 
0, y, y 0, -y, y 0, y, -y 0, -y, -y
y, 0, yy, 0, -y -y, 0, y -y, 0, -y
y, y, 0 -y, y, 0y, -y, 0 -y, -y, 0
1/2, -y + 1/2, -y + 1/2 1/2, y + 1/2, -y + 1/2 1/2, -y + 1/2, y + 1/2 1/2, y + 1/2, y + 1/2
-y + 1/2, 1/2, -y + 1/2 -y + 1/2, 1/2, y + 1/2y + 1/2, 1/2, -y + 1/2y + 1/2, 1/2, y + 1/2
-y + 1/2, -y + 1/2, 1/2y + 1/2, -y + 1/2, 1/2 -y + 1/2, y + 1/2, 1/2y + 1/2, y + 1/2, 1/2
hkl : h + k + l = 2n
24 g  2 . . 
x, 0, 1/2 -x, 0, 1/2 1/2, x, 0 1/2, -x, 0 0, 1/2, x 0, 1/2, -x
0, x, 1/2 0, -x, 1/2x, 1/2, 0 -x, 1/2, 0 1/2, 0, -x 1/2, 0, x
-x + 1/2, 1/2, 0x + 1/2, 1/2, 0 0, -x + 1/2, 1/2 0, x + 1/2, 1/2 1/2, 0, -x + 1/2 1/2, 0, x + 1/2
1/2, -x + 1/2, 0 1/2, x + 1/2, 0 -x + 1/2, 0, 1/2x + 1/2, 0, 1/2 0, 1/2, x + 1/2 0, 1/2, -x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
16 f  . 3 . 
x, x, x -x, -x, x -x, x, -xx, -x, -x
x, x, -x -x, -x, -xx, -x, x -x, x, x
-x + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2x + 1/2, x + 1/2, -x + 1/2x + 1/2, -x + 1/2, x + 1/2 -x + 1/2, x + 1/2, x + 1/2
-x + 1/2, -x + 1/2, x + 1/2x + 1/2, x + 1/2, x + 1/2 -x + 1/2, x + 1/2, -x + 1/2x + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
12 e  4 . . 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0 0, 0, x 0, 0, -x
-x + 1/2, 1/2, 1/2x + 1/2, 1/2, 1/2 1/2, -x + 1/2, 1/2 1/2, x + 1/2, 1/2 1/2, 1/2, -x + 1/2 1/2, 1/2, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
12 d  -4 . . 
1/4, 0, 1/2 3/4, 0, 1/2 1/2, 1/4, 0 1/2, 3/4, 0 0, 1/2, 1/4 0, 1/2, 3/4
0, 1/4, 1/2 0, 3/4, 1/2 1/4, 1/2, 0 3/4, 1/2, 0 1/2, 0, 3/4 1/2, 0, 1/4
hkl : h + k + l = 2n
8 c  . -3 . 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 3/4 1/4, 1/4, 3/4 3/4, 3/4, 3/4 1/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, 1/4
hkl : h, k, l = 2n
6 b  4 2 . 2 
0, 1/2, 1/2 1/2, 0, 1/2 1/2, 1/2, 0 1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 0, 0, 1/2
hkl : h + k + l = 2n
2 a  4 3 2 
0, 0, 0 1/2, 1/2, 1/2
hkl : h + k + l = 2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2(a - b)   b' = 1/2(a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   p2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = 1/2c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] P-43n (218)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48
  [2] P432 (207)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24
  [2] Pn-31 (Pn-3, 201)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36
 [brace][3] P4/n12/n (P4/nnc, 126)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40
 [3] P4/n12/n (P4/nnc, 126)1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44
 [3] P4/n12/n (P4/nnc, 126)1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48
 [brace][4] P1-32/n (R-3c, 167)1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48
 [4] P1-32/n (R-3c, 167)1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48
 [4] P1-32/n (R-3c, 167)1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46
 [4] P1-32/n (R-3c, 167)1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46
IIa none
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Pn-3n (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (222)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
II[2] Im-3m (229); [4] Fm-3c (226)





Pn-3n Oh2 m-3m Cubic info
No. 222 P4/n-32/n Patterson symmetry Pm-3m
ORIGIN CHOICE 2

symmetry group diagram

Origin at centre (-3), at 1/4, 1/4, 1/4 from 4 3 2

Asymmetric unit 1/4 ≤ x ≤ 3/4; 1/4 ≤ y ≤ 3/4; 1/4 ≤ z ≤ 3/4; y ≤ x; z ≤ y
Vertices
1/4, 1/4, 1/4  3/4, 1/4, 1/4  3/4, 3/4, 1/4  3/4, 3/4, 3/4  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  2   1/4, 1/4, z(3)  2   1/4, y, 1/4(4)  2   x, 1/4, 1/4
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x + 1/2, -x(7)  3+   x + 1/2, -x, -x(8)  3+   -x + 1/2, -x + 1/2, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x + 1/2, -x, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x + 1/2, x(12)  3-   -x, x + 1/2, -x
(13)  2   x, x, 1/4(14)  2   x, -x + 1/2, 1/4(15)  4-   1/4, 1/4, z(16)  4+   1/4, 1/4, z
(17)  4-   x, 1/4, 1/4(18)  2   1/4, y, y(19)  2   1/4, y + 1/2, -y(20)  4+   x, 1/4, 1/4
(21)  4+   1/4, y, 1/4(22)  2   x, 1/4, x(23)  4-   1/4, y, 1/4(24)  2   -x + 1/2, 1/4, x
(25)  -1   0, 0, 0(26)  n(1/2, 1/2, 0)   x, y, 0(27)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 0, z(28)  n(0, 1/2, 1/2)   0, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(30)  -3+   -x - 1, x + 1/2, -x; -1/2, 0, 1/2(31)  -3+   x - 1/2, -x + 1, -x; 0, 1/2, -1/2(32)  -3+   -x + 1/2, -x - 1/2, x; 1/2, -1/2, 0
(33)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0(34)  -3-   x + 1/2, -x - 1, -x; 0, -1/2, 1/2(35)  -3-   -x - 1/2, -x + 1/2, x; -1/2, 1/2, 0(36)  -3-   -x + 1, x - 1/2, -x; 1/2, 0, -1/2
(37)  c   x, -x, z(38)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, x, z(39)  -4-   -1/4, 1/4, z; -1/4, 1/4, 0(40)  -4+   1/4, -1/4, z; 1/4, -1/4, 0
(41)  -4-   x, -1/4, 1/4; 0, -1/4, 1/4(42)  a   x, y, -y(43)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, y(44)  -4+   x, 1/4, -1/4; 0, 1/4, -1/4
(45)  -4+   -1/4, y, 1/4; -1/4, 0, 1/4(46)  b   -x, y, x(47)  -4-   1/4, y, -1/4; 1/4, 0, -1/4(48)  n(1/2, 1/2, 1/2)   x, y, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 h, k, l permutable
General:
48 i 1
(1) x, y, z(2) -x + 1/2, -y + 1/2, z(3) -x + 1/2, y, -z + 1/2(4) x, -y + 1/2, -z + 1/2
(5) z, x, y(6) z, -x + 1/2, -y + 1/2(7) -z + 1/2, -x + 1/2, y(8) -z + 1/2, x, -y + 1/2
(9) y, z, x(10) -y + 1/2, z, -x + 1/2(11) y, -z + 1/2, -x + 1/2(12) -y + 1/2, -z + 1/2, x
(13) y, x, -z + 1/2(14) -y + 1/2, -x + 1/2, -z + 1/2(15) y, -x + 1/2, z(16) -y + 1/2, x, z
(17) x, z, -y + 1/2(18) -x + 1/2, z, y(19) -x + 1/2, -z + 1/2, -y + 1/2(20) x, -z + 1/2, y
(21) z, y, -x + 1/2(22) z, -y + 1/2, x(23) -z + 1/2, y, x(24) -z + 1/2, -y + 1/2, -x + 1/2
(25) -x, -y, -z(26) x + 1/2, y + 1/2, -z(27) x + 1/2, -y, z + 1/2(28) -x, y + 1/2, z + 1/2
(29) -z, -x, -y(30) -z, x + 1/2, y + 1/2(31) z + 1/2, x + 1/2, -y(32) z + 1/2, -x, y + 1/2
(33) -y, -z, -x(34) y + 1/2, -z, x + 1/2(35) -y, z + 1/2, x + 1/2(36) y + 1/2, z + 1/2, -x
(37) -y, -x, z + 1/2(38) y + 1/2, x + 1/2, z + 1/2(39) -y, x + 1/2, -z(40) y + 1/2, -x, -z
(41) -x, -z, y + 1/2(42) x + 1/2, -z, -y(43) x + 1/2, z + 1/2, y + 1/2(44) -x, z + 1/2, -y
(45) -z, -y, x + 1/2(46) -z, y + 1/2, -x(47) z + 1/2, -y, -x(48) z + 1/2, y + 1/2, x + 1/2
0kl : k + l = 2n
hhl : l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
24 h  . . 2 
1/4, y, y 1/4, -y + 1/2, y 1/4, y, -y + 1/2 1/4, -y + 1/2, -y + 1/2
y, 1/4, yy, 1/4, -y + 1/2 -y + 1/2, 1/4, y -y + 1/2, 1/4, -y + 1/2
y, y, 1/4 -y + 1/2, y, 1/4y, -y + 1/2, 1/4 -y + 1/2, -y + 1/2, 1/4
3/4, -y, -y 3/4, y + 1/2, -y 3/4, -y, y + 1/2 3/4, y + 1/2, y + 1/2
-y, 3/4, -y -y, 3/4, y + 1/2y + 1/2, 3/4, -yy + 1/2, 3/4, y + 1/2
-y, -y, 3/4y + 1/2, -y, 3/4 -y, y + 1/2, 3/4y + 1/2, y + 1/2, 3/4
hkl : h + k + l = 2n
24 g  2 . . 
x, 3/4, 1/4 -x + 1/2, 3/4, 1/4 1/4, x, 3/4 1/4, -x + 1/2, 3/4 3/4, 1/4, x 3/4, 1/4, -x + 1/2
3/4, x, 1/4 3/4, -x + 1/2, 1/4x, 1/4, 3/4 -x + 1/2, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, -x + 1/2 1/4, 3/4, x
-x, 1/4, 3/4x + 1/2, 1/4, 3/4 3/4, -x, 1/4 3/4, x + 1/2, 1/4 1/4, 3/4, -x 1/4, 3/4, x + 1/2
1/4, -x, 3/4 1/4, x + 1/2, 3/4 -x, 3/4, 1/4x + 1/2, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, x + 1/2 3/4, 1/4, -x
hkl : h + k + l = 2n
16 f  . 3 . 
x, x, x -x + 1/2, -x + 1/2, x -x + 1/2, x, -x + 1/2x, -x + 1/2, -x + 1/2
x, x, -x + 1/2 -x + 1/2, -x + 1/2, -x + 1/2x, -x + 1/2, x -x + 1/2, x, x
-x, -x, -xx + 1/2, x + 1/2, -xx + 1/2, -x, x + 1/2 -x, x + 1/2, x + 1/2
-x, -x, x + 1/2x + 1/2, x + 1/2, x + 1/2 -x, x + 1/2, -xx + 1/2, -x, -x
hkl : h + k + l = 2n
12 e  4 . . 
x, 1/4, 1/4 -x + 1/2, 1/4, 1/4 1/4, x, 1/4 1/4, -x + 1/2, 1/4 1/4, 1/4, x 1/4, 1/4, -x + 1/2
-x, 3/4, 3/4x + 1/2, 3/4, 3/4 3/4, -x, 3/4 3/4, x + 1/2, 3/4 3/4, 3/4, -x 3/4, 3/4, x + 1/2
hkl : h + k + l = 2n
12 d  -4 . . 
0, 3/4, 1/4 1/2, 3/4, 1/4 1/4, 0, 3/4 1/4, 1/2, 3/4 3/4, 1/4, 0 3/4, 1/4, 1/2
3/4, 0, 1/4 3/4, 1/2, 1/4 0, 1/4, 3/4 1/2, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 1/2 1/4, 3/4, 0
hkl : h + k + l = 2n
8 c  . -3 . 
0, 0, 0 1/2, 1/2, 0 1/2, 0, 1/2 0, 1/2, 1/2 0, 0, 1/2 1/2, 1/2, 1/2 0, 1/2, 0 1/2, 0, 0
hkl : h, k, l = 2n
6 b  4 2 . 2 
3/4, 1/4, 1/4 1/4, 3/4, 1/4 1/4, 1/4, 3/4 1/4, 3/4, 3/4 3/4, 1/4, 3/4 3/4, 3/4, 1/4
hkl : h + k + l = 2n
2 a  4 3 2 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 3/4
hkl : h + k + l = 2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2(a - b)   b' = 1/2(a + b)   
Origin at 1/4, 1/4, z		Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   p2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = 1/2c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] P-43n (218)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48
  [2] P432 (207)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24
  [2] Pn-31 (Pn-3, 201)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36
 [brace][3] P4/n12/n (P4/nnc, 126)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40
 [3] P4/n12/n (P4/nnc, 126)1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44
 [3] P4/n12/n (P4/nnc, 126)1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48
 [brace][4] P1-32/n (R-3c, 167)1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48
 [4] P1-32/n (R-3c, 167)1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48
 [4] P1-32/n (R-3c, 167)1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46
 [4] P1-32/n (R-3c, 167)1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46
IIa none
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Pn-3n (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (222)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
II[2] Im-3m (229); [4] Fm-3c (226)








































to end of page
to top of page