Fd-3m Oh7 m-3m Cubic info
No. 227 F41/d-32/m Patterson symmetry Fm-3m
ORIGIN CHOICE 1

symmetry group diagram

Origin at -4 3 m, at -1/8, -1/8, -1/8 from centre (-3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/8; -1/8 ≤ z ≤ 1/8; y ≤ min(1/2 - x, x); -y ≤ z ≤ y
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  3/8, 1/8, 1/8  1/8, 1/8, 1/8  3/8, 1/8, -1/8  1/8, 1/8, -1/8  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2(0, 0, 1/2)   0, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/4, y, 0(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/4
(5)  3+   x, x, x(6)  3+(1/3, -1/3, 1/3)   -x + 1/6, x + 1/6, -x(7)  3+(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, -x - 1/6, -x(8)  3+(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/6, -x + 1/3, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x + 1/2, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x, x(12)  3-   -x - 1/2, x + 1/2, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x - 1/4, 3/8(14)  2   x, -x + 1/4, 1/8(15)  4-(0, 0, 3/4)   1/2, 1/4, z(16)  4+(0, 0, 1/4)   0, 3/4, z
(17)  4-(3/4, 0, 0)   x, 1/2, 1/4(18)  2(0, 1/2, 1/2)   3/8, y + 1/4, y(19)  2   1/8, y + 1/4, -y(20)  4+(1/4, 0, 0)   x, 0, 3/4
(21)  4+(0, 1/4, 0)   3/4, y, 0(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x - 1/4, 3/8, x(23)  4-(0, 3/4, 0)   1/4, y, 1/2(24)  2   -x + 1/4, 1/8, x
(25)  -1   1/8, 1/8, 1/8(26)  d(1/4, 3/4, 0)   x, y, 3/8(27)  d(3/4, 0, 1/4)   x, 3/8, z(28)  d(0, 1/4, 3/4)   3/8, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 1/8, 1/8, 1/8(30)  -3+   -x - 1, x + 1, -x; -1/8, 1/8, 7/8(31)  -3+   x, -x + 1, -x; 1/8, 7/8, -1/8(32)  -3+   -x + 1, -x, x; 7/8, -1/8, 1/8
(33)  -3-   x, x, x; 1/8, 1/8, 1/8(34)  -3-   x + 3/2, -x - 1, -x; 5/8, -1/8, 7/8(35)  -3-   -x + 1/2, -x + 3/2, x; -1/8, 7/8, 5/8(36)  -3-   -x + 1, x + 1/2, -x; 7/8, 5/8, -1/8
(37)  g(1/4, -1/4, 1/2)   x + 1/4, -x, z(38)  m   x, x, z(39)  -4-   -1/4, 1/4, z; -1/4, 1/4, 1/4(40)  -4+   1/2, 0, z; 1/2, 0, 0
(41)  -4-   x, -1/4, 1/4; 1/4, -1/4, 1/4(42)  g(1/2, 1/4, -1/4)   x, y + 1/4, -y(43)  m   x, y, y(44)  -4+   x, 1/2, 0; 0, 1/2, 0
(45)  -4+   0, y, 1/2; 0, 0, 1/2(46)  g(-1/4, 1/2, 1/4)   -x + 1/4, y, x(47)  -4-   1/4, y, -1/4; 1/4, 1/4, -1/4(48)  m   x, y, x

For (0, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(0, 1/2, 1/2)   (2)  2   0, 0, z(3)  2   1/4, y, 1/4(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 0
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/3, x - 1/6, x(6)  3+   -x + 1/2, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x + 1/2, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x + 1/6, x(10)  3-   x + 1/2, -x, -x(11)  3-(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/3, -x + 1/6, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  2(3/4, 3/4, 0)   x, x, 1/8(14)  2(-1/4, 1/4, 0)   x, -x + 1/2, 3/8(15)  4-(0, 0, 1/4)   1/4, 0, z(16)  4+(0, 0, 3/4)   1/4, 1/2, z
(17)  4-(3/4, 0, 0)   x, 1/2, -1/4(18)  2(0, 1/2, 1/2)   3/8, y - 1/4, y(19)  2   1/8, y + 3/4, -y(20)  4+(1/4, 0, 0)   x, 0, 1/4
(21)  4+(0, 3/4, 0)   1/2, y, -1/4(22)  2(1/4, 0, 1/4)   x, 1/8, x(23)  4-(0, 1/4, 0)   0, y, 3/4(24)  2(-1/4, 0, 1/4)   -x + 1/2, 3/8, x
(25)  -1   1/8, 3/8, 3/8(26)  d(1/4, 1/4, 0)   x, y, 1/8(27)  d(3/4, 0, 3/4)   x, 1/8, z(28)  d(0, 3/4, 1/4)   3/8, y, z
(29)  -3+   x, x + 1/2, x; 1/8, 5/8, 1/8(30)  -3+   -x - 1, x + 3/2, -x; -1/8, 5/8, 7/8(31)  -3+   x, -x + 1/2, -x; 1/8, 3/8, -1/8(32)  -3+   -x + 1, -x - 1/2, x; 7/8, -5/8, 1/8
(33)  -3-   x - 1/2, x - 1/2, x; 1/8, 1/8, 5/8(34)  -3-   x + 1, -x - 3/2, -x; 1/8, -5/8, 7/8(35)  -3-   -x, -x + 1, x; -1/8, 7/8, 1/8(36)  -3-   -x + 1/2, x, -x; 3/8, 1/8, -1/8
(37)  m   x + 1/2, -x, z(38)  g(1/4, 1/4, 1/2)   x - 1/4, x, z(39)  -4-   0, 0, z; 0, 0, 0(40)  -4+   1/4, -1/4, z; 1/4, -1/4, 1/4
(41)  -4-   x, 1/4, 1/4; 1/4, 1/4, 1/4(42)  g(1/2, -1/4, 1/4)   x, y + 1/4, -y(43)  g(0, 1/2, 1/2)   x, y, y(44)  -4+   x, 0, 0; 0, 0, 0
(45)  -4+   1/4, y, 1/4; 1/4, 1/4, 1/4(46)  m   -x, y, x(47)  -4-   1/2, y, 0; 1/2, 0, 0(48)  g(1/4, 1/2, 1/4)   x - 1/4, y, x

For (1/2, 0, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 0, 1/2)   (2)  2   1/4, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   0, y, 1/4(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x - 1/6, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x + 1/2, -x, -x(8)  3+   -x, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x - 1/3, x(10)  3-(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, -x + 1/6, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x + 1/2, -x
(13)  2(1/4, 1/4, 0)   x, x, 1/8(14)  2(1/4, -1/4, 0)   x, -x + 1/2, 3/8(15)  4-(0, 0, 1/4)   3/4, 0, z(16)  4+(0, 0, 3/4)   -1/4, 1/2, z
(17)  4-(1/4, 0, 0)   x, 1/4, 0(18)  2(0, 3/4, 3/4)   1/8, y, y(19)  2(0, -1/4, 1/4)   3/8, y + 1/2, -y(20)  4+(3/4, 0, 0)   x, 1/4, 1/2
(21)  4+(0, 1/4, 0)   1/4, y, 0(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x + 1/4, 3/8, x(23)  4-(0, 3/4, 0)   -1/4, y, 1/2(24)  2   -x + 3/4, 1/8, x
(25)  -1   3/8, 1/8, 3/8(26)  d(3/4, 3/4, 0)   x, y, 1/8(27)  d(1/4, 0, 3/4)   x, 3/8, z(28)  d(0, 1/4, 1/4)   1/8, y, z
(29)  -3+   x - 1/2, x - 1/2, x; 1/8, 1/8, 5/8(30)  -3+   -x - 1/2, x + 1/2, -x; -1/8, 1/8, 3/8(31)  -3+   x - 1/2, -x + 3/2, -x; 1/8, 7/8, -5/8(32)  -3+   -x + 3/2, -x + 1/2, x; 7/8, -1/8, 5/8
(33)  -3-   x + 1/2, x, x; 5/8, 1/8, 1/8(34)  -3-   x + 1, -x - 1, -x; 1/8, -1/8, 7/8(35)  -3-   -x, -x + 1/2, x; -1/8, 3/8, 1/8(36)  -3-   -x + 3/2, x - 1/2, -x; 7/8, 1/8, -5/8
(37)  m   x, -x, z(38)  g(1/4, 1/4, 1/2)   x + 1/4, x, z(39)  -4-   0, 1/2, z; 0, 1/2, 0(40)  -4+   1/4, 1/4, z; 1/4, 1/4, 1/4
(41)  -4-   x, 0, 0; 0, 0, 0(42)  m   x, y + 1/2, -y(43)  g(1/2, 1/4, 1/4)   x, y - 1/4, y(44)  -4+   x, 1/4, -1/4; 1/4, 1/4, -1/4
(45)  -4+   0, y, 0; 0, 0, 0(46)  g(1/4, 1/2, -1/4)   -x + 1/4, y, x(47)  -4-   1/4, y, 1/4; 1/4, 1/4, 1/4(48)  g(1/2, 0, 1/2)   x, y, x

For (1/2, 1/2, 0)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 0)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/4, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 1/4, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x + 1/3, x(6)  3+   -x, x + 1/2, -x(7)  3+   x + 1/2, -x - 1/2, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, x + 1/6, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x + 1/2, x(12)  3-(1/3, -1/3, 1/3)   -x - 1/6, x + 1/3, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x + 1/4, 3/8(14)  2   x, -x + 3/4, 1/8(15)  4-(0, 0, 3/4)   1/2, -1/4, z(16)  4+(0, 0, 1/4)   0, 1/4, z
(17)  4-(1/4, 0, 0)   x, 3/4, 0(18)  2(0, 1/4, 1/4)   1/8, y, y(19)  2(0, 1/4, -1/4)   3/8, y + 1/2, -y(20)  4+(3/4, 0, 0)   x, -1/4, 1/2
(21)  4+(0, 3/4, 0)   1/2, y, 1/4(22)  2(3/4, 0, 3/4)   x, 1/8, x(23)  4-(0, 1/4, 0)   0, y, 1/4(24)  2(1/4, 0, -1/4)   -x + 1/2, 3/8, x
(25)  -1   3/8, 3/8, 1/8(26)  d(3/4, 1/4, 0)   x, y, 3/8(27)  d(1/4, 0, 1/4)   x, 1/8, z(28)  d(0, 3/4, 3/4)   1/8, y, z
(29)  -3+   x + 1/2, x, x; 5/8, 1/8, 1/8(30)  -3+   -x - 3/2, x + 1, -x; -5/8, 1/8, 7/8(31)  -3+   x + 1/2, -x + 1, -x; 5/8, 7/8, -1/8(32)  -3+   -x + 1/2, -x, x; 3/8, -1/8, 1/8
(33)  -3-   x, x + 1/2, x; 1/8, 5/8, 1/8(34)  -3-   x + 1/2, -x - 1/2, -x; 1/8, -1/8, 3/8(35)  -3-   -x - 1/2, -x + 1, x; -5/8, 7/8, 1/8(36)  -3-   -x + 1, x, -x; 7/8, 1/8, -1/8
(37)  g(-1/4, 1/4, 1/2)   x + 1/4, -x, z(38)  g(1/2, 1/2, 0)   x, x, z(39)  -4-   1/4, 1/4, z; 1/4, 1/4, 1/4(40)  -4+   0, 0, z; 0, 0, 0
(41)  -4-   x, 0, 1/2; 0, 0, 1/2(42)  m   x, y, -y(43)  g(1/2, 1/4, 1/4)   x, y + 1/4, y(44)  -4+   x, 1/4, 1/4; 1/4, 1/4, 1/4
(45)  -4+   -1/4, y, 1/4; -1/4, 1/4, 1/4(46)  m   -x + 1/2, y, x(47)  -4-   0, y, 0; 0, 0, 0(48)  g(1/4, 1/2, 1/4)   x + 1/4, y, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(0, 1/2, 1/2); t(1/2, 0, 1/2); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (0, 1/2, 1/2)+  (1/2, 0, 1/2)+  (1/2, 1/2, 0)+  h, k, l permutable
General:
192 i 1
(1) x, y, z(2) -x, -y + 1/2, z + 1/2(3) -x + 1/2, y + 1/2, -z(4) x + 1/2, -y, -z + 1/2
(5) z, x, y(6) z + 1/2, -x, -y + 1/2(7) -z, -x + 1/2, y + 1/2(8) -z + 1/2, x + 1/2, -y
(9) y, z, x(10) -y + 1/2, z + 1/2, -x(11) y + 1/2, -z, -x + 1/2(12) -y, -z + 1/2, x + 1/2
(13) y + 3/4, x + 1/4, -z + 3/4(14) -y + 1/4, -x + 1/4, -z + 1/4(15) y + 1/4, -x + 3/4, z + 3/4(16) -y + 3/4, x + 3/4, z + 1/4
(17) x + 3/4, z + 1/4, -y + 3/4(18) -x + 3/4, z + 3/4, y + 1/4(19) -x + 1/4, -z + 1/4, -y + 1/4(20) x + 1/4, -z + 3/4, y + 3/4
(21) z + 3/4, y + 1/4, -x + 3/4(22) z + 1/4, -y + 3/4, x + 3/4(23) -z + 3/4, y + 3/4, x + 1/4(24) -z + 1/4, -y + 1/4, -x + 1/4
(25) -x + 1/4, -y + 1/4, -z + 1/4(26) x + 1/4, y + 3/4, -z + 3/4(27) x + 3/4, -y + 3/4, z + 1/4(28) -x + 3/4, y + 1/4, z + 3/4
(29) -z + 1/4, -x + 1/4, -y + 1/4(30) -z + 3/4, x + 1/4, y + 3/4(31) z + 1/4, x + 3/4, -y + 3/4(32) z + 3/4, -x + 3/4, y + 1/4
(33) -y + 1/4, -z + 1/4, -x + 1/4(34) y + 3/4, -z + 3/4, x + 1/4(35) -y + 3/4, z + 1/4, x + 3/4(36) y + 1/4, z + 3/4, -x + 3/4
(37) -y + 1/2, -x, z + 1/2(38) y, x, z(39) -y, x + 1/2, -z + 1/2(40) y + 1/2, -x + 1/2, -z
(41) -x + 1/2, -z, y + 1/2(42) x + 1/2, -z + 1/2, -y(43) x, z, y(44) -x, z + 1/2, -y + 1/2
(45) -z + 1/2, -y, x + 1/2(46) -z, y + 1/2, -x + 1/2(47) z + 1/2, -y + 1/2, -x(48) z, y, x
hkl : h + k = 2n
and h + l, k + l = 2n
0kl : k + l = 4n
and k, l = 2n
hhl : h + l = 2n
h00 : h = 4n
    Special: as above, plus
96 h  . . 2 
1/8, y, -y + 1/4 7/8, -y + 1/2, -y + 3/4 3/8, y + 1/2, y + 3/4 5/8, -y, y + 1/4
-y + 1/4, 1/8, y -y + 3/4, 7/8, -y + 1/2y + 3/4, 3/8, y + 1/2y + 1/4, 5/8, -y
y, -y + 1/4, 1/8 -y + 1/2, -y + 3/4, 7/8y + 1/2, y + 3/4, 3/8 -y, y + 1/4, 5/8
1/8, -y + 1/4, y 3/8, y + 3/4, y + 1/2 7/8, -y + 3/4, -y + 1/2 5/8, y + 1/4, -y
y, 1/8, -y + 1/4y + 1/2, 3/8, y + 3/4 -y + 1/2, 7/8, -y + 3/4 -y, 5/8, y + 1/4
-y + 1/4, y, 1/8y + 3/4, y + 1/2, 3/8 -y + 3/4, -y + 1/2, 7/8y + 1/4, -y, 5/8
no extra conditions
96 g  . . m 
x, x, z -x, -x + 1/2, z + 1/2 -x + 1/2, x + 1/2, -zx + 1/2, -x, -z + 1/2
z, x, xz + 1/2, -x, -x + 1/2 -z, -x + 1/2, x + 1/2 -z + 1/2, x + 1/2, -x
x, z, x -x + 1/2, z + 1/2, -xx + 1/2, -z, -x + 1/2 -x, -z + 1/2, x + 1/2
x + 3/4, x + 1/4, -z + 3/4 -x + 1/4, -x + 1/4, -z + 1/4x + 1/4, -x + 3/4, z + 3/4 -x + 3/4, x + 3/4, z + 1/4
x + 3/4, z + 1/4, -x + 3/4 -x + 3/4, z + 3/4, x + 1/4 -x + 1/4, -z + 1/4, -x + 1/4x + 1/4, -z + 3/4, x + 3/4
z + 3/4, x + 1/4, -x + 3/4z + 1/4, -x + 3/4, x + 3/4 -z + 3/4, x + 3/4, x + 1/4 -z + 1/4, -x + 1/4, -x + 1/4
no extra conditions
48 f  2 . m m 
x, 0, 0 -x, 1/2, 1/2 0, x, 0 1/2, -x, 1/2 0, 0, x 1/2, 1/2, -x
3/4, x + 1/4, 3/4 1/4, -x + 1/4, 1/4x + 3/4, 1/4, 3/4 -x + 3/4, 3/4, 1/4 3/4, 1/4, -x + 3/4 1/4, 3/4, x + 3/4
hkl : h = 2n + 1
or h + k + l = 4n
32 e  . 3 m 
x, x, x -x, -x + 1/2, x + 1/2
-x + 1/2, x + 1/2, -xx + 1/2, -x, -x + 1/2
x + 3/4, x + 1/4, -x + 3/4 -x + 1/4, -x + 1/4, -x + 1/4
x + 1/4, -x + 3/4, x + 3/4 -x + 3/4, x + 3/4, x + 1/4
no extra conditions
16 d  . -3 m 
5/8, 5/8, 5/8 3/8, 7/8, 1/8 7/8, 1/8, 3/8 1/8, 3/8, 7/8
hkl : h = 2n + 1 or h, k, l = 4n + 2 or h, k, l = 4n
16 c  . -3 m 
1/8, 1/8, 1/8 7/8, 3/8, 5/8 3/8, 5/8, 7/8 5/8, 7/8, 3/8
8 b  -4 3 m 
1/2, 1/2, 1/2 1/4, 3/4, 1/4
hkl : h = 2n + 1 or h + k + l = 4n
8 a  -4 3 m 
0, 0, 0 3/4, 1/4, 3/4

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/4(a - b)   b' = 1/4(a + b)   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p6mm
a' = 1/6(2a - b - c)   b' = 1/6(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   c2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 1/8

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] F-43m (216)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48)+
  [2] F4132 (210)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24)+
  [2] Fd-31 (Fd-3, 203)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36)+
 [brace][3] F41/d12/m (I41/amd, 141)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40)+
 [3] F41/d12/m (I41/amd, 141)(1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44)+
 [3] F41/d12/m (I41/amd, 141)(1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48)+
 [brace][4] F1-32/m (R-3m, 166)(1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48)+
 [4] F1-32/m (R-3m, 166)(1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48)+
 [4] F1-32/m (R-3m, 166)(1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46)+
 [4] F1-32/m (R-3m, 166)(1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46)+
IIa none
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Fd-3m (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (227)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
II[2] Pn-3m (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (224)





Fd-3m Oh7 m-3m Cubic info
No. 227 F41/d-32/m Patterson symmetry Fm-3m
ORIGIN CHOICE 2

symmetry group diagram

Origin at centre (-3 m), at 1/8, 1/8, 1/8 from -4 3 m

Asymmetric unit -1/8 ≤ x ≤ 3/8; -1/8 ≤ y ≤ 0; -1/4 ≤ z ≤ 0; y ≤ min(1/4 - x, x); -y - 1/4 ≤ z ≤ y
Vertices
-1/8, -1/8, -1/8  3/8, -1/8, -1/8  1/4, 0, 0  0, 0, 0  1/4, 0, -1/4  0, 0, -1/4  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2(0, 0, 1/2)   3/8, 1/8, z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/8, y, 3/8(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 3/8, 1/8
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x + 1/2, x + 1/4, -x(7)  3+   x + 3/4, -x - 1/2, -x(8)  3+   -x + 1/4, -x + 3/4, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 5/12, -x + 1/6, -x(11)  3-(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 7/12, -x + 5/12, x(12)  3-(1/3, -1/3, 1/3)   -x - 1/6, x + 7/12, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x - 1/4, 1/4(14)  2   x, -x, 0(15)  4-(0, 0, 3/4)   3/8, 1/8, z(16)  4+(0, 0, 1/4)   -1/8, 5/8, z
(17)  4-(3/4, 0, 0)   x, 3/8, 1/8(18)  2(0, 1/2, 1/2)   1/4, y + 1/4, y(19)  2   0, y, -y(20)  4+(1/4, 0, 0)   x, -1/8, 5/8
(21)  4+(0, 1/4, 0)   5/8, y, -1/8(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x - 1/4, 1/4, x(23)  4-(0, 3/4, 0)   1/8, y, 3/8(24)  2   -x, 0, x
(25)  -1   0, 0, 0(26)  d(1/4, 3/4, 0)   x, y, 1/4(27)  d(3/4, 0, 1/4)   x, 1/4, z(28)  d(0, 1/4, 3/4)   1/4, y, z
(29)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(30)  -3+   -x - 1, x + 3/4, -x; -1/4, 0, 3/4(31)  -3+   x - 1/4, -x + 1, -x; 0, 3/4, -1/4(32)  -3+   -x + 3/4, -x - 1/4, x; 3/4, -1/4, 0
(33)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0(34)  -3-   x + 5/4, -x - 1, -x; 1/2, -1/4, 3/4(35)  -3-   -x + 1/4, -x + 5/4, x; -1/4, 3/4, 1/2(36)  -3-   -x + 1, x + 1/4, -x; 3/4, 1/2, -1/4
(37)  g(-1/4, 1/4, 1/2)   x + 1/2, -x, z(38)  m   x, x, z(39)  -4-   1/8, 5/8, z; 1/8, 5/8, 1/8(40)  -4+   3/8, -1/8, z; 3/8, -1/8, 3/8
(41)  -4-   x, 1/8, 5/8; 1/8, 1/8, 5/8(42)  g(1/2, -1/4, 1/4)   x, y + 1/2, -y(43)  m   x, y, y(44)  -4+   x, 3/8, -1/8; 3/8, 3/8, -1/8
(45)  -4+   -1/8, y, 3/8; -1/8, 3/8, 3/8(46)  g(1/4, 1/2, -1/4)   -x + 1/2, y, x(47)  -4-   5/8, y, 1/8; 5/8, 1/8, 1/8(48)  m   x, y, x

For (0, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(0, 1/2, 1/2)   (2)  2   3/8, 3/8, z(3)  2   1/8, y, 1/8(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/8, 3/8
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/3, x - 1/6, x(6)  3+(1/3, -1/3, 1/3)   -x + 1/6, x + 5/12, -x(7)  3+   x + 3/4, -x, -x(8)  3+   -x + 1/4, -x + 1/4, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x + 1/6, x(10)  3-   x + 1/4, -x, -x(11)  3-   -x + 3/4, -x + 1/4, x(12)  3-   -x, x + 3/4, -x
(13)  2(3/4, 3/4, 0)   x, x, 0(14)  2(-1/4, 1/4, 0)   x, -x + 1/4, 1/4(15)  4-(0, 0, 1/4)   1/8, -1/8, z(16)  4+(0, 0, 3/4)   1/8, 3/8, z
(17)  4-(3/4, 0, 0)   x, 3/8, -3/8(18)  2(0, 1/2, 1/2)   1/4, y - 1/4, y(19)  2   0, y + 1/2, -y(20)  4+(1/4, 0, 0)   x, -1/8, 1/8
(21)  4+(0, 3/4, 0)   3/8, y, -3/8(22)  2(1/4, 0, 1/4)   x, 0, x(23)  4-(0, 1/4, 0)   -1/8, y, 5/8(24)  2(-1/4, 0, 1/4)   -x + 1/4, 1/4, x
(25)  -1   0, 1/4, 1/4(26)  d(1/4, 1/4, 0)   x, y, 0(27)  d(3/4, 0, 3/4)   x, 0, z(28)  d(0, 3/4, 1/4)   1/4, y, z
(29)  -3+   x, x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(30)  -3+   -x - 1, x + 5/4, -x; -1/4, 1/2, 3/4(31)  -3+   x - 1/4, -x + 1/2, -x; 0, 1/4, -1/4(32)  -3+   -x + 3/4, -x - 3/4, x; 3/4, -3/4, 0
(33)  -3-   x - 1/2, x - 1/2, x; 0, 0, 1/2(34)  -3-   x + 3/4, -x - 3/2, -x; 0, -3/4, 3/4(35)  -3-   -x - 1/4, -x + 3/4, x; -1/4, 3/4, 0(36)  -3-   -x + 1/2, x - 1/4, -x; 1/4, 0, -1/4
(37)  m   x + 1/4, -x, z(38)  g(1/4, 1/4, 1/2)   x - 1/4, x, z(39)  -4-   3/8, 3/8, z; 3/8, 3/8, 3/8(40)  -4+   5/8, 1/8, z; 5/8, 1/8, 1/8
(41)  -4-   x, 1/8, 1/8; 1/8, 1/8, 1/8(42)  g(1/2, 1/4, -1/4)   x, y + 1/2, -y(43)  g(0, 1/2, 1/2)   x, y, y(44)  -4+   x, 3/8, 3/8; 3/8, 3/8, 3/8
(45)  -4+   1/8, y, 1/8; 1/8, 1/8, 1/8(46)  m   -x + 3/4, y, x(47)  -4-   3/8, y, -1/8; 3/8, 3/8, -1/8(48)  g(1/4, 1/2, 1/4)   x - 1/4, y, x

For (1/2, 0, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 0, 1/2)   (2)  2   1/8, 1/8, z(3)  2(0, 1/2, 0)   3/8, y, 1/8(4)  2   x, 3/8, 3/8
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x - 1/6, x(6)  3+   -x, x + 3/4, -x(7)  3+   x + 1/4, -x, -x(8)  3+(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 5/12, -x + 7/12, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x - 1/3, x(10)  3-   x + 1/4, -x + 1/2, -x(11)  3-   -x + 3/4, -x + 3/4, x(12)  3-   -x, x + 1/4, -x
(13)  2(1/4, 1/4, 0)   x, x, 0(14)  2(1/4, -1/4, 0)   x, -x + 1/4, 1/4(15)  4-(0, 0, 1/4)   5/8, -1/8, z(16)  4+(0, 0, 3/4)   -3/8, 3/8, z
(17)  4-(1/4, 0, 0)   x, 1/8, -1/8(18)  2(0, 3/4, 3/4)   0, y, y(19)  2(0, -1/4, 1/4)   1/4, y + 1/4, -y(20)  4+(3/4, 0, 0)   x, 1/8, 3/8
(21)  4+(0, 1/4, 0)   1/8, y, -1/8(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x + 1/4, 1/4, x(23)  4-(0, 3/4, 0)   -3/8, y, 3/8(24)  2   -x + 1/2, 0, x
(25)  -1   1/4, 0, 1/4(26)  d(3/4, 3/4, 0)   x, y, 0(27)  d(1/4, 0, 3/4)   x, 1/4, z(28)  d(0, 1/4, 1/4)   0, y, z
(29)  -3+   x - 1/2, x - 1/2, x; 0, 0, 1/2(30)  -3+   -x - 1/2, x + 1/4, -x; -1/4, 0, 1/4(31)  -3+   x - 3/4, -x + 3/2, -x; 0, 3/4, -3/4(32)  -3+   -x + 5/4, -x + 1/4, x; 3/4, -1/4, 1/2
(33)  -3-   x + 1/2, x, x; 1/2, 0, 0(34)  -3-   x + 3/4, -x - 1, -x; 0, -1/4, 3/4(35)  -3-   -x - 1/4, -x + 1/4, x; -1/4, 1/4, 0(36)  -3-   -x + 3/2, x - 3/4, -x; 3/4, 0, -3/4
(37)  m   x + 3/4, -x, z(38)  g(1/4, 1/4, 1/2)   x + 1/4, x, z(39)  -4-   -1/8, 3/8, z; -1/8, 3/8, 3/8(40)  -4+   1/8, 1/8, z; 1/8, 1/8, 1/8
(41)  -4-   x, 3/8, 3/8; 3/8, 3/8, 3/8(42)  m   x, y + 1/4, -y(43)  g(1/2, 1/4, 1/4)   x, y - 1/4, y(44)  -4+   x, 5/8, 1/8; 1/8, 5/8, 1/8
(45)  -4+   3/8, y, 3/8; 3/8, 3/8, 3/8(46)  g(-1/4, 1/2, 1/4)   -x + 1/2, y, x(47)  -4-   1/8, y, 1/8; 1/8, 1/8, 1/8(48)  g(1/2, 0, 1/2)   x, y, x

For (1/2, 1/2, 0)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 0)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/8, 3/8, z(3)  2   3/8, y, 3/8(4)  2   x, 1/8, 1/8
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x + 1/3, x(6)  3+   -x, x + 1/4, -x(7)  3+(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 7/12, -x - 1/6, -x(8)  3+   -x + 3/4, -x + 3/4, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, x + 1/6, x(10)  3-   x + 3/4, -x, -x(11)  3-   -x + 1/4, -x + 1/4, x(12)  3-   -x - 1/2, x + 3/4, -x
(13)  2(1/2, 1/2, 0)   x, x + 1/4, 1/4(14)  2   x, -x + 1/2, 0(15)  4-(0, 0, 3/4)   3/8, -3/8, z(16)  4+(0, 0, 1/4)   -1/8, 1/8, z
(17)  4-(1/4, 0, 0)   x, 5/8, -1/8(18)  2(0, 1/4, 1/4)   0, y, y(19)  2(0, 1/4, -1/4)   1/4, y + 1/4, -y(20)  4+(3/4, 0, 0)   x, -3/8, 3/8
(21)  4+(0, 3/4, 0)   3/8, y, 1/8(22)  2(3/4, 0, 3/4)   x, 0, x(23)  4-(0, 1/4, 0)   -1/8, y, 1/8(24)  2(1/4, 0, -1/4)   -x + 1/4, 1/4, x
(25)  -1   1/4, 1/4, 0(26)  d(3/4, 1/4, 0)   x, y, 1/4(27)  d(1/4, 0, 1/4)   x, 0, z(28)  d(0, 3/4, 3/4)   0, y, z
(29)  -3+   x + 1/2, x, x; 1/2, 0, 0(30)  -3+   -x - 3/2, x + 3/4, -x; -3/4, 0, 3/4(31)  -3+   x + 1/4, -x + 1, -x; 1/2, 3/4, -1/4(32)  -3+   -x + 1/4, -x - 1/4, x; 1/4, -1/4, 0
(33)  -3-   x, x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(34)  -3-   x + 1/4, -x - 1/2, -x; 0, -1/4, 1/4(35)  -3-   -x - 3/4, -x + 3/4, x; -3/4, 3/4, 0(36)  -3-   -x + 1, x - 1/4, -x; 3/4, 0, -1/4
(37)  g(1/4, -1/4, 1/2)   x + 1/2, -x, z(38)  g(1/2, 1/2, 0)   x, x, z(39)  -4-   1/8, 1/8, z; 1/8, 1/8, 1/8(40)  -4+   3/8, 3/8, z; 3/8, 3/8, 3/8
(41)  -4-   x, -1/8, 3/8; 3/8, -1/8, 3/8(42)  m   x, y + 3/4, -y(43)  g(1/2, 1/4, 1/4)   x, y + 1/4, y(44)  -4+   x, 1/8, 1/8; 1/8, 1/8, 1/8
(45)  -4+   1/8, y, 5/8; 1/8, 1/8, 5/8(46)  m   -x + 1/4, y, x(47)  -4-   3/8, y, 3/8; 3/8, 3/8, 3/8(48)  g(1/4, 1/2, 1/4)   x + 1/4, y, x

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(0, 1/2, 1/2); t(1/2, 0, 1/2); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (0, 1/2, 1/2)+  (1/2, 0, 1/2)+  (1/2, 1/2, 0)+  h, k, l permutable
General:
192 i 1
(1) x, y, z(2) -x + 3/4, -y + 1/4, z + 1/2(3) -x + 1/4, y + 1/2, -z + 3/4(4) x + 1/2, -y + 3/4, -z + 1/4
(5) z, x, y(6) z + 1/2, -x + 3/4, -y + 1/4(7) -z + 3/4, -x + 1/4, y + 1/2(8) -z + 1/4, x + 1/2, -y + 3/4
(9) y, z, x(10) -y + 1/4, z + 1/2, -x + 3/4(11) y + 1/2, -z + 3/4, -x + 1/4(12) -y + 3/4, -z + 1/4, x + 1/2
(13) y + 3/4, x + 1/4, -z + 1/2(14) -y, -x, -z(15) y + 1/4, -x + 1/2, z + 3/4(16) -y + 1/2, x + 3/4, z + 1/4
(17) x + 3/4, z + 1/4, -y + 1/2(18) -x + 1/2, z + 3/4, y + 1/4(19) -x, -z, -y(20) x + 1/4, -z + 1/2, y + 3/4
(21) z + 3/4, y + 1/4, -x + 1/2(22) z + 1/4, -y + 1/2, x + 3/4(23) -z + 1/2, y + 3/4, x + 1/4(24) -z, -y, -x
(25) -x, -y, -z(26) x + 1/4, y + 3/4, -z + 1/2(27) x + 3/4, -y + 1/2, z + 1/4(28) -x + 1/2, y + 1/4, z + 3/4
(29) -z, -x, -y(30) -z + 1/2, x + 1/4, y + 3/4(31) z + 1/4, x + 3/4, -y + 1/2(32) z + 3/4, -x + 1/2, y + 1/4
(33) -y, -z, -x(34) y + 3/4, -z + 1/2, x + 1/4(35) -y + 1/2, z + 1/4, x + 3/4(36) y + 1/4, z + 3/4, -x + 1/2
(37) -y + 1/4, -x + 3/4, z + 1/2(38) y, x, z(39) -y + 3/4, x + 1/2, -z + 1/4(40) y + 1/2, -x + 1/4, -z + 3/4
(41) -x + 1/4, -z + 3/4, y + 1/2(42) x + 1/2, -z + 1/4, -y + 3/4(43) x, z, y(44) -x + 3/4, z + 1/2, -y + 1/4
(45) -z + 1/4, -y + 3/4, x + 1/2(46) -z + 3/4, y + 1/2, -x + 1/4(47) z + 1/2, -y + 1/4, -x + 3/4(48) z, y, x
hkl : h + k = 2n
and h + l, k + l = 2n
0kl : k + l = 4n
and k, l = 2n
hhl : h + l = 2n
h00 : h = 4n
    Special: as above, plus
96 h  . . 2 
0, y, -y 3/4, -y + 1/4, -y + 1/2 1/4, y + 1/2, y + 3/4 1/2, -y + 3/4, y + 1/4
-y, 0, y -y + 1/2, 3/4, -y + 1/4y + 3/4, 1/4, y + 1/2y + 1/4, 1/2, -y + 3/4
y, -y, 0 -y + 1/4, -y + 1/2, 3/4y + 1/2, y + 3/4, 1/4 -y + 3/4, y + 1/4, 1/2
0, -y, y 1/4, y + 3/4, y + 1/2 3/4, -y + 1/2, -y + 1/4 1/2, y + 1/4, -y + 3/4
y, 0, -yy + 1/2, 1/4, y + 3/4 -y + 1/4, 3/4, -y + 1/2 -y + 3/4, 1/2, y + 1/4
-y, y, 0y + 3/4, y + 1/2, 1/4 -y + 1/2, -y + 1/4, 3/4y + 1/4, -y + 3/4, 1/2
no extra conditions
96 g  . . m 
x, x, z -x + 3/4, -x + 1/4, z + 1/2 -x + 1/4, x + 1/2, -z + 3/4x + 1/2, -x + 3/4, -z + 1/4
z, x, xz + 1/2, -x + 3/4, -x + 1/4 -z + 3/4, -x + 1/4, x + 1/2 -z + 1/4, x + 1/2, -x + 3/4
x, z, x -x + 1/4, z + 1/2, -x + 3/4x + 1/2, -z + 3/4, -x + 1/4 -x + 3/4, -z + 1/4, x + 1/2
x + 3/4, x + 1/4, -z + 1/2 -x, -x, -zx + 1/4, -x + 1/2, z + 3/4 -x + 1/2, x + 3/4, z + 1/4
x + 3/4, z + 1/4, -x + 1/2 -x + 1/2, z + 3/4, x + 1/4 -x, -z, -xx + 1/4, -z + 1/2, x + 3/4
z + 3/4, x + 1/4, -x + 1/2z + 1/4, -x + 1/2, x + 3/4 -z + 1/2, x + 3/4, x + 1/4 -z, -x, -x
no extra conditions
48 f  2 . m m 
x, 1/8, 1/8 -x + 3/4, 1/8, 5/8 1/8, x, 1/8 5/8, -x + 3/4, 1/8 1/8, 1/8, x 1/8, 5/8, -x + 3/4
7/8, x + 1/4, 3/8 7/8, -x, 7/8x + 3/4, 3/8, 3/8 -x + 1/2, 7/8, 3/8 7/8, 3/8, -x + 1/2 3/8, 3/8, x + 3/4
hkl : h = 2n + 1
or h + k + l = 4n
32 e  . 3 m 
x, x, x -x + 3/4, -x + 1/4, x + 1/2
-x + 1/4, x + 1/2, -x + 3/4x + 1/2, -x + 3/4, -x + 1/4
x + 3/4, x + 1/4, -x + 1/2 -x, -x, -x
x + 1/4, -x + 1/2, x + 3/4 -x + 1/2, x + 3/4, x + 1/4
no extra conditions
16 d  . -3 m 
1/2, 1/2, 1/2 1/4, 3/4, 0 3/4, 0, 1/4 0, 1/4, 3/4
hkl : h = 2n + 1 or h, k, l = 4n + 2 or h, k, l = 4n
16 c  . -3 m 
0, 0, 0 3/4, 1/4, 1/2 1/4, 1/2, 3/4 1/2, 3/4, 1/4
8 b  -4 3 m 
3/8, 3/8, 3/8 1/8, 5/8, 1/8
hkl : h = 2n + 1 or h + k + l = 4n
8 a  -4 3 m 
1/8, 1/8, 1/8 7/8, 3/8, 3/8

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/4(a - b)   b' = 1/4(a + b)   
Origin at 1/8, 3/8, z		Along [111]   p6mm
a' = 1/6(2a - b - c)   b' = 1/6(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   c2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] F-43m (216)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48)+
  [2] F4132 (210)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24)+
  [2] Fd-31 (Fd-3, 203)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36)+
 [brace][3] F41/d12/m (I41/amd, 141)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; 25; 26; 27; 28; 37; 38; 39; 40)+
 [3] F41/d12/m (I41/amd, 141)(1; 2; 3; 4; 17; 18; 19; 20; 25; 26; 27; 28; 41; 42; 43; 44)+
 [3] F41/d12/m (I41/amd, 141)(1; 2; 3; 4; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 45; 46; 47; 48)+
 [brace][4] F1-32/m (R-3m, 166)(1; 5; 9; 14; 19; 24; 25; 29; 33; 38; 43; 48)+
 [4] F1-32/m (R-3m, 166)(1; 6; 12; 13; 18; 24; 25; 30; 36; 37; 42; 48)+
 [4] F1-32/m (R-3m, 166)(1; 7; 10; 13; 19; 22; 25; 31; 34; 37; 43; 46)+
 [4] F1-32/m (R-3m, 166)(1; 8; 11; 14; 18; 22; 25; 32; 35; 38; 42; 46)+
IIa none
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Fd-3m (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (227)

Minimal non-isomorphic supergroups

Inone
II[2] Pn-3m (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (224)








































to end of page
to top of page