Fm-3 Th3 m-3 Cubic info
No. 202 F2/m-3 Patterson symmetry Fm-3

symmetry group diagram

Origin at centre (m -3)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/2; 0 ≤ z ≤ 1/4; y ≤ x; z ≤ min(1/2 - x, y)
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/2, 1/2, 0  1/4, 1/4, 1/4  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   x, x, x(6)  3+   -x, x, -x(7)  3+   x, -x, -x(8)  3+   -x, -x, x
(9)  3-   x, x, x(10)  3-   x, -x, -x(11)  3-   -x, -x, x(12)  3-   -x, x, -x
(13)  -1   0, 0, 0(14)  m   x, y, 0(15)  m   x, 0, z(16)  m   0, y, z
(17)  -3+   x, x, x; 0, 0, 0(18)  -3+   -x, x, -x; 0, 0, 0(19)  -3+   x, -x, -x; 0, 0, 0(20)  -3+   -x, -x, x; 0, 0, 0
(21)  -3-   x, x, x; 0, 0, 0(22)  -3-   x, -x, -x; 0, 0, 0(23)  -3-   -x, -x, x; 0, 0, 0(24)  -3-   -x, x, -x; 0, 0, 0

For (0, 1/2, 1/2)+ set

(1)  t(0, 1/2, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   0, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   0, y, 1/4(4)  2   x, 1/4, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/3, x - 1/6, x(6)  3+   -x, x + 1/2, -x(7)  3+(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, -x - 1/6, -x(8)  3+   -x, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x + 1/6, x(10)  3-(-1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, -x + 1/6, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x + 1/2, x(12)  3-   -x - 1/2, x + 1/2, -x
(13)  -1   0, 1/4, 1/4(14)  b   x, y, 1/4(15)  c   x, 1/4, z(16)  n(0, 1/2, 1/2)   0, y, z
(17)  -3+   x, x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(18)  -3+   -x - 1, x + 1/2, -x; -1/2, 0, 1/2(19)  -3+   x, -x + 1/2, -x; 0, 1/2, 0(20)  -3+   -x + 1, -x + 1/2, x; 1/2, 0, 1/2
(21)  -3-   x - 1/2, x - 1/2, x; 0, 0, 1/2(22)  -3-   x + 1/2, -x - 1/2, -x; 0, 0, 1/2(23)  -3-   -x - 1/2, -x + 1/2, x; -1/2, 1/2, 0(24)  -3-   -x + 1/2, x + 1/2, -x; 1/2, 1/2, 0

For (1/2, 0, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 0, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/4, 0, z(3)  2   1/4, y, 1/4(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/4
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x - 1/6, x(6)  3+(1/3, -1/3, 1/3)   -x + 1/6, x + 1/6, -x(7)  3+   x + 1/2, -x - 1/2, -x(8)  3+   -x + 1/2, -x + 1/2, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x - 1/6, x - 1/3, x(10)  3-   x + 1/2, -x, -x(11)  3-   -x + 1/2, -x, x(12)  3-(1/3, -1/3, 1/3)   -x - 1/6, x + 1/3, -x
(13)  -1   1/4, 0, 1/4(14)  a   x, y, 1/4(15)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 0, z(16)  c   1/4, y, z
(17)  -3+   x - 1/2, x - 1/2, x; 0, 0, 1/2(18)  -3+   -x - 1/2, x + 1/2, -x; 0, 0, 1/2(19)  -3+   x + 1/2, -x + 1/2, -x; 1/2, 1/2, 0(20)  -3+   -x + 1/2, -x - 1/2, x; 1/2, -1/2, 0
(21)  -3-   x + 1/2, x, x; 1/2, 0, 0(22)  -3-   x + 1/2, -x - 1, -x; 0, -1/2, 1/2(23)  -3-   -x + 1/2, -x + 1, x; 0, 1/2, 1/2(24)  -3-   -x + 1/2, x, -x; 1/2, 0, 0

For (1/2, 1/2, 0)+ set

(1)  t(1/2, 1/2, 0)   (2)  2   1/4, 1/4, z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/4, y, 0(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 1/4, 0
(5)  3+(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/6, x + 1/3, x(6)  3+   -x + 1/2, x, -x(7)  3+   x + 1/2, -x, -x(8)  3+(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/6, -x + 1/3, x
(9)  3-(1/3, 1/3, 1/3)   x + 1/3, x + 1/6, x(10)  3-   x, -x + 1/2, -x(11)  3-(1/3, 1/3, -1/3)   -x + 1/3, -x + 1/6, x(12)  3-   -x, x + 1/2, -x
(13)  -1   1/4, 1/4, 0(14)  n(1/2, 1/2, 0)   x, y, 0(15)  a   x, 1/4, z(16)  b   1/4, y, z
(17)  -3+   x + 1/2, x, x; 1/2, 0, 0(18)  -3+   -x - 1/2, x + 1, -x; 0, 1/2, 1/2(19)  -3+   x - 1/2, -x + 1, -x; 0, 1/2, -1/2(20)  -3+   -x + 1/2, -x, x; 1/2, 0, 0
(21)  -3-   x, x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(22)  -3-   x + 1, -x - 1/2, -x; 1/2, 0, 1/2(23)  -3-   -x, -x + 1/2, x; 0, 1/2, 0(24)  -3-   -x + 1, x - 1/2, -x; 1/2, 0, -1/2

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(0, 1/2, 1/2); t(1/2, 0, 1/2); (2); (3); (5); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry		 Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (0, 1/2, 1/2)+  (1/2, 0, 1/2)+  (1/2, 1/2, 0)+  h, k, l cyclically permutable
General:
96 i 1
(1) x, y, z(2) -x, -y, z(3) -x, y, -z(4) x, -y, -z
(5) z, x, y(6) z, -x, -y(7) -z, -x, y(8) -z, x, -y
(9) y, z, x(10) -y, z, -x(11) y, -z, -x(12) -y, -z, x
(13) -x, -y, -z(14) x, y, -z(15) x, -y, z(16) -x, y, z
(17) -z, -x, -y(18) -z, x, y(19) z, x, -y(20) z, -x, y
(21) -y, -z, -x(22) y, -z, x(23) -y, z, x(24) y, z, -x
hkl : h + k, h + l, k + l = 2n
0kl : k, l = 2n
hhl : h + l = 2n
h00 : h = 2n
    Special: as above, plus
48 h  m . . 
0, y, z 0, -y, z 0, y, -z 0, -y, -zz, 0, yz, 0, -y
-z, 0, y -z, 0, -yy, z, 0 -y, z, 0y, -z, 0 -y, -z, 0
no extra conditions
48 g  2 . . 
x, 1/4, 1/4 -x, 3/4, 1/4 1/4, x, 1/4 1/4, -x, 3/4 1/4, 1/4, x 3/4, 1/4, -x
-x, 3/4, 3/4x, 1/4, 3/4 3/4, -x, 3/4 3/4, x, 1/4 3/4, 3/4, -x 1/4, 3/4, x
hkl : h = 2n
32 f  . 3 . 
x, x, x -x, -x, x -x, x, -xx, -x, -x
-x, -x, -xx, x, -xx, -x, x -x, x, x
no extra conditions
24 e  m m 2 . . 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0 0, 0, x 0, 0, -x
no extra conditions
24 d  2/m . . 
0, 1/4, 1/4 0, 3/4, 1/4 1/4, 0, 1/4 1/4, 0, 3/4 1/4, 1/4, 0 3/4, 1/4, 0
hkl : h = 2n
8 c  2 3 . 
1/4, 1/4, 1/4 3/4, 3/4, 3/4
hkl : h = 2n
4 b  m -3 . 
1/2, 1/2, 1/2
no extra conditions
4 a  m -3 . 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [001]   p2mm
a' = 1/2a   b' = 1/2b   
Origin at 0, 0, z		Along [111]   p6
a' = 1/6(2a - b - c)   b' = 1/6(-a + 2b - c)   
Origin at x, x, x		Along [110]   c2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at x, x, 0

Maximal non-isomorphic subgroups

I [2] F23 (196)(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12)+
  [3] Fm1 (Fmmm, 69)(1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16)+
 [brace][4] F1-3 (R-3, 148)(1; 5; 9; 13; 17; 21)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 6; 12; 13; 18; 24)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 7; 10; 13; 19; 22)+
 [4] F1-3 (R-3, 148)(1; 8; 11; 13; 20; 23)+
IIabrace[4] Pa-3 (205)1; 5; 9; 13; 17; 21; (2; 7; 12; 14; 19; 24) + (0, 1/2, 1/2); (4; 6; 11; 16; 18; 23) + (1/2, 0, 1/2); (3; 8; 10; 15; 20; 22) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pa-3 (205)1; 7; 10; 13; 19; 22; (2; 5; 11; 14; 17; 23) + (0, 1/2, 1/2); (4; 8; 12; 16; 20; 24) + (1/2, 0, 1/2); (3; 6; 9; 15; 18; 21) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pa-3 (205)1; 8; 11; 13; 20; 23; (2; 6; 10; 14; 18; 22) + (0, 1/2, 1/2); (4; 7; 9; 16; 19; 21) + (1/2, 0, 1/2); (3; 5; 12; 15; 17; 24) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pa-3 (205)1; 6; 12; 13; 18; 24; (2; 8; 9; 14; 20; 21) + (0, 1/2, 1/2); (4; 5; 10; 16; 17; 22) + (1/2, 0, 1/2); (3; 7; 11; 15; 19; 23) + (1/2, 1/2, 0)
 brace[4] Pa-3 (205)1; 5; 9; 13; 17; 21; (3; 8; 10; 15; 20; 22) + (0, 1/2, 1/2); (2; 7; 12; 14; 19; 24) + (1/2, 0, 1/2); (4; 6; 11; 16; 18; 23) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pa-3 (205)1; 7; 10; 13; 19; 22; (3; 6; 9; 15; 18; 21) + (0, 1/2, 1/2); (2; 5; 11; 14; 17; 23) + (1/2, 0, 1/2); (4; 8; 12; 16; 20; 24) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pa-3 (205)1; 8; 11; 13; 20; 23; (3; 5; 12; 15; 17; 24) + (0, 1/2, 1/2); (2; 6; 10; 14; 18; 22) + (1/2, 0, 1/2); (4; 7; 9; 16; 19; 21) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pa-3 (205)1; 6; 12; 13; 18; 24; (3; 7; 11; 15; 19; 23) + (0, 1/2, 1/2); (2; 8; 9; 14; 20; 21) + (1/2, 0, 1/2); (4; 5; 10; 16; 17; 22) + (1/2, 1/2, 0)
 brace[4] Pn-3 (201)1; 5; 9; 13; 17; 21; (4; 6; 11; 16; 18; 23) + (0, 1/2, 1/2); (3; 8; 10; 15; 20; 22) + (1/2, 0, 1/2); (2; 7; 12; 14; 19; 24) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pn-3 (201)1; 7; 10; 13; 19; 22; (4; 8; 12; 16; 20; 24) + (0, 1/2, 1/2); (3; 6; 9; 15; 18; 21) + (1/2, 0, 1/2); (2; 5; 11; 14; 17; 23) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pn-3 (201)1; 8; 11; 13; 20; 23; (4; 7; 9; 16; 19; 21) + (0, 1/2, 1/2); (3; 5; 12; 15; 17; 24) + (1/2, 0, 1/2); (2; 6; 10; 14; 18; 22) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pn-3 (201)1; 6; 12; 13; 18; 24; (4; 5; 10; 16; 17; 22) + (0, 1/2, 1/2); (3; 7; 11; 15; 19; 23) + (1/2, 0, 1/2); (2; 8; 9; 14; 20; 21) + (1/2, 1/2, 0)
 brace[4] Pm-3 (200)1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24
 [4] Pm-3 (200)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; (5; 6; 7; 8; 17; 18; 19; 20) + (0, 1/2, 1/2); (9; 10; 11; 12; 21; 22; 23; 24) + (1/2, 1/2, 0)
 [4] Pm-3 (200)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; (5; 6; 7; 8; 17; 18; 19; 20) + (1/2, 0, 1/2); (9; 10; 11; 12; 21; 22; 23; 24) + (0, 1/2, 1/2)
 [4] Pm-3 (200)1; 2; 3; 4; 13; 14; 15; 16; (5; 6; 7; 8; 17; 18; 19; 20) + (1/2, 1/2, 0); (9; 10; 11; 12; 21; 22; 23; 24) + (1/2, 0, 1/2)
IIbnone

Maximal isomorphic subgroups of lowest index

IIc[27] Fm-3 (a' = 3a, b' = 3b, c' = 3c) (202)

Minimal non-isomorphic supergroups

I[2] Fm-3m (225); [2] Fm-3c (226)
II[2] Pm-3 (a' = 1/2a, b' = 1/2b, c' = 1/2c) (200)








































to end of page
to top of page